Experimento del reloj con dilatación del tiempo: ¿qué pasaría si se diera la vuelta al reloj 90 grados?

Question

He visto y comprendido el experimento mental clásico en el que imaginas un "reloj de luz" enviando un rayo de luz entre dos espejos mientras se mueve en dirección perpendicular a la dirección de la luz en el marco de referencia del reloj, como se muestra aquí:

Lo que no entiendo es que la fórmula del tiempo percibido por un observador, $\Delta t'$ del reloj se deriva del teorema de Pitágoras, que sólo funciona porque la luz se refleja en una dirección perpendicular a la dirección de la velocidad del reloj (desde el punto de vista del reloj). Si el reloj reflejara la luz en la misma dirección en la que se mueve, es decir, en la animación anterior el reloj estaría girado 90 grados "tumbado", entonces seguiría siendo un reloj porque seguiría teniendo un periodo fijo, pero no veo cómo se podría obtener el mismo resultado para la forma en la que un espectador percibe el reloj:

$$\Delta t' = \dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$$

Lo pregunto porque en el ejemplo que he visto de contracción de la longitud, el reloj se movía en la misma dirección en la que se reflejaba la luz, pero en la derivación de la ecuación del efecto de contracción seguían utilizando la fórmula de la dilatación del tiempo, que se derivaba cuando el reloj estaba "parado" como en la animación de arriba.

Answer 1

• En Cálculo k Bondi (un método basado en el álgebra) desarrolla las ideas básicas de la relatividad especial en el $tx$ -(sin utilizar la dirección transversal). Este enfoque se presenta en su libro "Relativity and Common Sense" (1962, 1964). Además, Bondi presentó "E=mc2: Thinking Relativity Through", una serie de diez conferencias en la BBC TV del 5 de octubre al 7 de diciembre de 1963. (Más información en el artículo que escribí para un blog en https://www.physicsforums.com/insights/relativity-using-bondi-k-calculus/ )

Lo he utilizado para desarrollar el "reloj de luz longitudinal" sin apelar al "reloj de luz transversal" estándar de los libros de texto. En concreto, dibujo las señales luminosas en el reloj de luz longitudinal para formar el " diamantes reloj de luz "(el " diamante causal "entre eventos de tick consecutivos). Todos los diamantes del reloj de luz para todos los observadores inerciales tienen la misma área, ya que la transformación de impulso de Lorentz tiene determinante uno. Esto se desarrolla utilizando el k-cálculo de Bondi en mi artículo:

Relatividad en papel cuadriculado girado ,
AmJPhy 84, 344 (2016); https://doi.org/10.1119/1.4943251 .
Un primer borrador se encuentra en https://arxiv.org/abs/1111.7254 .

En lugar de utilizar la "dilatación temporal" del reloj transversal,
Utilizo el Principio de Relatividad en la $tx$ -avión.

El ratio (utilizando $v=(3/5)c$ ) es

Una vez establecido el tamaño del diamante del reloj de luz (utilizando el cálculo k de Bondi en el punto anterior), la diagonal espacial del diamante del reloj de luz determina los eventos de reflexión en las líneas del mundo espejo del reloj de luz longitudinal. Por lo tanto, dibujar a través de esos paralelos a la diagonal temporal (la línea del mundo del observador). Esto muestra la longitud-contracción vista en el marco del laboratorio. (Se puede demostrar que la construcción es simétrica entre los observadores).

---

• Tengo un enfoque diferente (que no utiliza el Bondi $k$ -cálculo directamente) que aparece en mi reciente capítulo contribuido

  Introducción a la relatividad en papel cuadriculado girado
  Cap. 7 en Enseñanza de la física einsteniana en las escuelas
  Kersting y Blair, Routledge 2021, https://doi.org/10.4324/9781003161721

Lo describiré a continuación.
Puedes jugar con las ideas de esta visualización: https://www.geogebra.org/m/HYD7hB9v#material/UBXdQaz4 (asegúrese de que se muestran los diamantes de BOB)

La idea clave es que el diamante talla viene determinada por el Principio de Relatividad. (El diamante forma viene determinada por el principio de la velocidad de la luz y la velocidad del observador). Los dos observadores realizan el mismo experimento y deberían esperar los mismos resultados:
2 segundos después de que se encuentren, envía una señal luminosa al otro.

Suponer un tiempo y un espacio absolutos no satisface el principio, pero la tercera configuración funciona.

Utilizando $v=(3/5)c$ ... y asumiendo el Principio de la Velocidad de la Luz... tenemos la forma de los diamantes de Bob... pero ¿cuál es el tamaño correcto?

Suponiendo un tiempo absoluto (para que las alturas de los diamantes sean iguales),
Alice (rojo) recibe la señal de Bob a 3,2, mientras que Bob (azul) recibe la de Alice a 5.
Las garrapatas de Bob necesitan ser aumentadas de este tamaño. Esto indica que hay dilatación temporal... ¿pero en cuánto?

Suponiendo un espacio absoluto (para que las longitudes de las secciones transversales de los relojes de luz sean iguales),
Alice (rojo) recibe la señal de Bob a 5, mientras que Bob (azul) recibe la de Alice a 3,2.
Las garrapatas de Bob deben reducirse de este tamaño. Esto indica que hay una contracción de la longitud... ¿pero en cuánto?

Jugando (¿tomando ejemplo de la media geométrica?),
conseguimos un acuerdo con el Principio de Relatividad recibiendo cada uno la otra señal a 4 ticks.

La relación $(4\mbox{ ticks})/(2\mbox{ ticks})$ es el factor Doppler $k=2$ para $v=(3/5)c$ , donde hemos utilizado el Principio de Relatividad y el Principio de la Velocidad de la Luz...
...y, en consecuencia, ahora conocemos el factor de dilatación del tiempo y de contracción de la longitud.

Pruébelo por $v=(4/5)c$ .
https://www.geogebra.org/m/kvfsq664 (actualizado)... asegúrese de que los diamantes de BOB se muestran

Por cierto, encontramos que las áreas de los diamantes del reloj de Alice son iguales a los diamantes del reloj de Bob. Resulta que el área de un diamante causal (en unidades de diamantes-reloj) es igual al intervalo cuadrado entre las esquinas de su diagonal.

---

Para más información, consulte mi artículo y el capítulo anterior.
Ver también
https://www.physicsforums.com/insights/spacetime-diagrams-light-clocks/
https://www.physicsforums.com/insights/relativity-rotated-graph-paper/

Answer 2

¿Nadie ve la cuestión de que tanto la persona que está en la nave como la que está fuera de ella no pueden ver la luz moviéndose a una velocidad constante al mismo tiempo para el reloj horizontal? Si la persona que está dentro de la nave ve la luz moviéndose a una velocidad constante, entonces la persona que está fuera vería la luz viajando más rápido cuando la luz se mueve hacia delante y más lento hacia atrás. Si la persona que está fuera ve que la luz se mueve a una velocidad constante, entonces la persona que está dentro vería que la luz se mueve más despacio cuando va hacia delante y más deprisa cuando va hacia atrás. Sin embargo, ambos calcularían la misma velocidad media de la luz.