Experimento del reloj con dilatación del tiempo: ¿qué pasaría si se diera la vuelta al reloj 90 grados?

Question

He visto y comprendido el experimento mental clásico en el que imaginas un "reloj de luz" enviando un rayo de luz entre dos espejos mientras se mueve en dirección perpendicular a la dirección de la luz en el marco de referencia del reloj, como se muestra aquí:

Lo que no entiendo es que la fórmula del tiempo percibido por un observador, $\Delta t'$ del reloj se deriva del teorema de Pitágoras, que sólo funciona porque la luz se refleja en una dirección perpendicular a la dirección de la velocidad del reloj (desde el punto de vista del reloj). Si el reloj reflejara la luz en la misma dirección en la que se mueve, es decir, en la animación anterior el reloj estaría girado 90 grados "tumbado", entonces seguiría siendo un reloj porque seguiría teniendo un periodo fijo, pero no veo cómo se podría obtener el mismo resultado para la forma en la que un espectador percibe el reloj:

$$\Delta t' = \dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$$

Lo pregunto porque en el ejemplo que he visto de contracción de la longitud, el reloj se movía en la misma dirección en la que se reflejaba la luz, pero en la derivación de la ecuación del efecto de contracción seguían utilizando la fórmula de la dilatación del tiempo, que se derivaba cuando el reloj estaba "parado" como en la animación de arriba.

Answer 1

@WillO da una buena explicación conceptual. Para completar, es posible demostrar que se produce la misma dilatación del tiempo en ambos casos.

Un reloj horizontal se movería en la dirección de su longitud, por lo que tenemos que preocuparnos por contracción de longitud también. Según el observador estacionario, el reloj horizontal es $\ell^\prime = \frac{1}{\gamma}\ell$ largo, y $$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c}\right)^2}} $$ es el factor de Lorentz.

Reloj fijo

Toma la luz $\Delta t = 2\ell / c$ para hacer un viaje de ida y vuelta para el reloj estacionario. Otra forma de decirlo es que la distancia total de ida y vuelta es $$ c\, \Delta t = 2 \ell .$$

Reloj en movimiento

Para el reloj en movimiento, divida el movimiento de la luz en dos partes: la parte de salida (antes de la reflexión) y la parte de retorno (después de la reflexión).

tiempo de salida

Para la parte saliente la distancia recorrida por la luz en el tiempo $\Delta {t_\mathrm{o}}^\prime$ es $$c \, \Delta {t_\mathrm{o}}^\prime = \ell^\prime + v\,\Delta {t_\mathrm{o}}^\prime .$$

La velocidad de desplazamiento de la luz $c$ por tiempo $\Delta {t_\mathrm{o}}^\prime$ . La luz necesitaba moverse la longitud del reloj más lo que se movía el extremo lejano mientras la luz estaba en tránsito. Anticipando el resultado final, reescribe esto como

$$ c \, \Delta {t_\mathrm{o}}^\prime = \frac{\ell^\prime}{1-\frac{v}{c}} .$$

tiempo de retorno

Para la parte de retorno la distancia recorrida por la luz en el tiempo $\Delta {t_\mathrm{r}}^\prime$ es

$$c \, \Delta {t_\mathrm{r}}^\prime = \ell^\prime - v\,\Delta {t_\mathrm{r}}^\prime .$$

La velocidad de desplazamiento de la luz $c$ por tiempo $\Delta {t_\mathrm{r}}^\prime$ . Esta vez la luz necesitaba moverse menos que la longitud del reloj, porque la parte frontal del reloj se movía hacia la luz mientras estaba en tránsito. O

$$ c \, \Delta {t_\mathrm{r}}^\prime = \frac{\ell^\prime}{1+\frac{v}{c}} .$$

tiempo total

La distancia total que recorre la luz de ida y vuelta es $$ c\,\Delta t^\prime = c\,\Delta {t_\mathrm{o}}^\prime + c\,\Delta {t_\mathrm{r}}^\prime = \frac{\ell^\prime}{1-\frac{v}{c}} + \frac{\ell^\prime}{1+\frac{v}{c}} $$ $$ = \ell^\prime \left( \frac{1+\frac{v}{c}}{\left(1-\frac{v}{c}\right)\left(1+\frac{v}{c}\right)} + \frac{1-\frac{v}{c}}{\left(1-\frac{v}{c}\right)\left(1+\frac{v}{c}\right)} \right)$$ $$ = \frac{2\, \ell^\prime}{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2} $$

o $$ c\,\Delta t^\prime = 2\, \gamma^2\, \ell^\prime.$$

Juntando la contracción de longitud y los dos resultados temporales se obtiene lo esperado $$\Delta t^\prime = \gamma\, \Delta t $$

Answer 2

Primero: Un observador que viaja con un reloj vertical y otro horizontal debe verlos funcionar a la misma velocidad, de lo contrario sabría que se está moviendo.

Segundo: El observador que viaja y un observador "estacionario" deben estar de acuerdo sobre cuántas veces hace tictac cada reloj durante el tiempo que tarda el viajero en ir de (digamos) Marte a Júpiter, porque ambos pueden simplemente mirar los relojes y contar sus tictacs. Por lo tanto, dado que el observador viajero dice que ambos relojes marcan el mismo número de veces, también debe hacerlo el observador "estacionario".

Uniendo la primera y la segunda observación, todo el mundo está de acuerdo en que los relojes horizontales y verticales funcionan a la misma velocidad.

Si quitas el reloj vertical, no hay razón para que cambie la frecuencia del reloj horizontal. Por lo tanto, el reloj horizontal debe funcionar a la misma velocidad que el vertical, aunque no esté el reloj vertical .

Así que..: Utiliza el reloj vertical para calcular la dilatación del tiempo. Reconozca que la misma dilatación del tiempo debe aplicarse al reloj horizontal, haya o no realmente un reloj vertical a bordo. Ahora (todo esto desde el punto de vista del observador "estacionario") conoces la frecuencia del reloj horizontal. También sabes a qué velocidad se mueve el reloj, y conoces la velocidad de la luz, por lo que puedes calcular la longitud del viaje de ida y vuelta del rayo de luz, y por lo tanto puedes calcular la longitud del reloj horizontal.

Answer 3

La razón por la que se suele utilizar un reloj transversal en la enseñanza de la RS es que las matemáticas asociadas adoptan una forma más sencilla en tal caso.

Como han demostrado otras respuestas, se puede obtener el mismo resultado considerando un reloj orientado en la dirección del movimiento. En algunos aspectos, esto proporciona más información sobre la naturaleza de la dilatación del tiempo, ya que implica de forma más explícita una consideración de la relatividad de la simultaneidad.

Específicamente, el reloj en el marco móvil hace tictac de forma desigual, ya que la longitud de la trayectoria de la luz en el tictac de ida es mayor que la trayectoria para el tictac de vuelta. Si consideras esto por un momento, verás que mientras que el tiempo total para ambos tics se dilata por la fórmula familiar, el tic de salida se dilata por otra cantidad completamente distinta y el tic de vuelta es en realidad tiempo contratado .

Este ejemplo sirve para recordar que la fórmula de la dilatación del tiempo sólo es aplicable al intervalo de tiempo entre dos sucesos que ocurren en un mismo lugar.

Un resultado más interesante es el caso de dos relojes longitudinales de luz que se mueven uno detrás del otro y que emiten luz en cada dirección desde un centro común. En este caso, el tictac de salida del reloj que emite luz en la dirección del movimiento de los relojes es más largo que el tictac de salida del otro reloj, mientras que ocurre lo contrario con sus tictacs de retorno. Ni la dilatación del tiempo ni la contracción de la longitud pueden explicar esto por sí solas, lo que ilustra es la relatividad de la simultaneidad. Cuando se tienen dos sistemas de referencia en movimiento, un plano de tiempo constante en un sistema es un corte inclinado a través del tiempo en el sistema a través del cual se está moviendo, la pendiente es hacia arriba en la dirección del movimiento. Tanto la dilatación del tiempo como la contracción de la longitud se derivan de esa rotación de los planos de tiempo constante entre los dos sistemas de referencia.

Answer 4

El experimento mental del reloj de luz que describes es un unidimensional experimento: A la izquierda hay un observador, a la derecha está el objeto observado moviéndose horizontalmente = en dirección x. La dimensión vertical se ha añadido únicamente a efectos de medición, con un rayo de luz que se desplaza hacia arriba y hacia abajo.

En consecuencia, si se "tumba" el sistema de espejos en el lado derecho, la configuración experimental no cambia. El objeto observado sigue viajando en dirección x horizontal. La única diferencia es que el recorrido del rayo luminoso horizontal ya no puede compararse directamente con el rayo luminoso vertical del observador a la izquierda. Esta configuración es menos clara, pero sigue siendo el mismo proceso: un objeto que se aleja horizontalmente del observador en dirección x.

La contracción de la longitud es un corolario de la dilatación del tiempo eso implica que con el experimento del reloj de luz también se puede deducir la contracción de la longitud.

Answer 5

Dos sucesos cualesquiera en el cuadro "en movimiento" (el tren) que ocurren en el mismo lugar y están separados por cierto tiempo. $ \Delta t $ medidos a partir de ese fotograma, estarán separados por un tiempo mayor $ \Delta t^\prime = \gamma \Delta t $ desde el punto de vista "estacionario" (la estación de tren). Es importante que los acontecimientos se produzcan en el mismo lugar (por ejemplo, la luz emitida por una fuente y devuelta a esa fuente (tras reflejarse)) o, al menos, en el mismo plano ortogonal a la dirección del movimiento; de lo contrario, el cálculo de la dilatación del tiempo se vería afectado por las diferencias de simultaneidad entre los dos fotogramas.

Está claro que el "reloj de luz longitudinal" (en lugar del más tradicional "reloj de luz transversal"), como algunos lo llaman, en tu ejemplo funcionará perfectamente. Y las matemáticas pueden ser muy sencillas. Utilizaré convenciones similares a las de la respuesta de Paul T., así que $ \Delta t_o $ es el tiempo de salida y $ \Delta t_r $ es el tiempo de retorno. Y voy a suponer que el haz de luz de salida viaja en la dirección del movimiento del tren hacia el espejo en la parte delantera del tren.

Recuerde que $ \ell^\prime = \frac \ell\gamma $ debido a la contracción de la longitud y que $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $ .

Así, desde el cuadro en movimiento, el tiempo que tarda la luz en viajar hasta el espejo y volver es

\begin{align} \Delta t & = \Delta t_o + \Delta t_r = \frac{\ell}{c} + \frac{\ell}{c} \\ & = \frac{2\ell}{c}. \end{align}

Ahora bien, como el observador inmóvil ve que el tren se mueve a $v$ y la luz saliente que se mueve en la misma dirección a $c$ ve la luz moviéndose respecto al tren en $c - v$ y recorriendo así la distancia $\ell^\prime$ a esa velocidad. Entonces ve la luz de retorno atravesar esa misma distancia a $ c + v $ (otra vez, respecto al tren ). Por lo tanto, el tiempo que tarda la luz en viajar hasta el espejo y volver desde su marco es

\begin{align} \Delta t^\prime & = \Delta{t_o}^\prime + \Delta{t_r}^\prime = \frac{\ell^\prime}{c - v} + \frac{\ell^\prime}{c + v} \\ & = \frac{\ell^\prime\left(c + v\right)}{\left(c - v\right)\left(c + v\right)} + \frac{\ell^\prime\left(c - v\right)}{\left(c - v\right)\left(c + v\right)} \\ & = \frac{2\ell^\prime c}{c^2 - v^2} = \frac{2\ell^\prime}{c\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)} \\ & = \frac{2\ell^\prime \gamma^2}{c} = \frac{2\gamma^2}{c} \frac \ell\gamma = \frac{2\ell\gamma}{c} \\ & = \gamma\Delta t. \end{align}