Teoremas clásicos atribuidos a Levi, Mal'cev, Harish-Chandra para un finito dimensional de Lie sobre un campo de característica 0 establecen que tiene una descomposición de Levi (subálgebra semisimple más radical soluble) y que todas esas subálgebras semisimples (factores de Levi) son conjugadas en un sentido fuerte: véase Jacobson, Álgebras de Lie III.9, por ejemplo. Esto se traslada a los grou grupos algebraicos lineales conexos, pero en característica primera hay contraejemplos que se remontan quizás a Chevalley que involucran esquemas de grupos familiares como $SL_2$ sobre anillos de Witt vectores. Las últimas entradas aquí han ignorado un poco esa dificultad, teniendo sólo la característica 0 en mente. Borel y Tits redefinieron el "factor de Levi" para que fuera un complemento reductor del radical unipotente, lo que no supone ninguna diferencia real en la característica 0, pero les permite concentrarse en respuestas positivas para subgrupos parabólicos de grupos reductores en general. Otros subgrupos familiares de grupos reductores, como el componente de identidad del centralizador de un elemento unipotente, requieren un tratamiento mucho más sutil, como en el trabajo de George McNinch.
Independientemente de que la característica $p$ cuestión es importante, ha permanecido abierta durante muchas décadas (digamos sobre un campo algebraicamente cerrado). Me rendí después de un artículo olvidable (Pacific J. Math. 23, 1967). El problema sigue siendo fácil de enunciar:
¿Existen condiciones efectivas necesarias o suficientes para la existencia o unicidad de factores de Levi en un grupo algebraico lineal conexo sobre un campo algebraicamente cerrado de característica primera?
Está claro que puede ser necesario un punto de vista teórico del esquema. Posiblemente los contraejemplos utilizando vectores de Witt sugieren de alguna manera todos los posibles contraejemplos? (¿O es imposible resolver la cuestión por completo?)
EDIT: Para acceder en línea a mi artículo de 1967, a través del Proyecto Euclides, véase Enlace . Aquí contraejemplo de Chevalley sólo se menciona en el resumen, pero en las observaciones más adelante se señala que Borel-Tits (III.15) dio un ejemplo en el que intervenían dos Levi que no son conjugados; ver NUMDAM link to PDF version of Publ. Math. IHES 27 (1965) en http://www.numdam.org:80/?lang=en
En abril 1967 Tits respondió a mi consulta con una carta en la que esbozaba el comportamiento del esquema de grupo $SL_2$ sobre el anillo de vectores de Witt de longitud 2, lo que da un grupo algebraico de 6 dimensiones sobre el campo subyacente con radical unipotente de dimensión 3 pero sin factor de Levi. Comentó que obtuvo este contraejemplo de P. Roquette, pero que también le habían hablado del contraejemplo de Chevalley.
AÑADIDO: La pregunta, tal y como está formulada, probablemente no tenga una respuesta clara, pero mientras tanto George McNinch ha profundizado mucho más (en campos más generales) en su nuevo preprint arXiv 1007.2777. Algunos pasos técnicos se basan en el libro de próxima aparición Grupos pseudorreductores (Cambridge, 2010) de Conrad-Gabber-Prasad.
