¿Valores prohibidos al introducir una fórmula en otra?

Question

Digamos f(x)= $\frac{1}{x}$

y g(x)= $x-5$

y si introducimos g en f como función compuesta, ¿seguiría siendo x = 0 un valor prohibido de f o no?

Merci !

Answer 1

Tenemos $f(g(x))=\frac{1}{x-5}$ Por lo tanto $f \circ g$ se define en $x=0$ .

Answer 2

$f$ tiene $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ como su dominio y también como su alcance, mientras que $g$ tiene $\mathbb{R}$ como su dominio y alcance.

Por tanto, el dominio de $g \circ f$ sigue siendo $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ pero $f \circ g$ (así que "enchufar $g$ en $f$ ") tiene $\mathbb{R}\setminus \{5\}$ como su dominio, porque debemos asegurarnos de que $f$ puede aplicarse al valor de $g$ por lo que cualquier $x$ con $g(x) = 0$ está apagado, ya que $0$ no está en $f$ de la UE. Así que $x=5$ no está en el dominio de la composición (y todos los demás valores sí).

Answer 3

En detalle, \begin{align} f&:\mathbb R\setminus\{0\} \to \mathbb R \\&:x \mapsto \frac 1x \end{align} y \begin{align} g&:\mathbb R \to \mathbb R \\&:x \mapsto x-5 \end{align}

Para calcular la composición $f\circ g$ debe ser cierto que la imagen de $g$ es un subconjunto del dominio de $f$ . Esto no es cierto ya que $\mathbb R \not \subseteq \mathbb R\setminus\{0\}$ .

Esta es una forma muy elegante de decir que, ya que no podemos calcular $f(g(5))$ entonces no podemos hacer $f \circ g$ .

Sin embargo, es muy común decir que $f(g(x)) = \dfrac{1}{x-5}$ excepto cuando $x = 5$ . Sin embargo, para hacerlo formalmente, habría que redefinir $g$ como

\begin{array}{llclcl} g &: &\mathbb R \setminus \{5\} &\to &\mathbb R \setminus \{0\} \\ &: &x &\mapsto &x-5 \end{array}