¿En qué casos una forma cerrada también es exacta?

Question

No estoy muy familiarizado con los derivados exteriores. Tengo algunos problemas siguiente argumento (que es una parte de una prueba de que si el tensor de Riemann desaparece, $R^{\,\rho}_{\;\,\sigma \mu \nu}=0$ si existe un sistema de coordenadas en el que las componentes de la métrica son constantes).

Por fin se llega a la ecuación: $$\nabla_\mu \omega_\nu =0$$

Tomando la antisimetrización de la última ecuación: $$\nabla_{[\mu} \omega_{\nu]} =\text{d}\omega=0 $$ Lo que significa que $\omega$ está cerrado. Sin embargo, en general esto no significa que $\omega$ es exacta, es decir $\omega=\text{d}\alpha$ para una función escalar $\alpha$ . Entonces "ya que hemos restringido la topología de la región en la que trabajamos la forma única también debe ser exacta.

No veo cómo la desaparición del tensor de Riemann conduce directamente a la conclusión que se expone en negrita. Más en general, ¿en qué espacio una forma cerrada es siempre exacta?

Answer 1

I) Cuando Ref. 1 escribe

[...] ya que hemos restringido la topología de la región en la que trabajamos,

se refiere a un comentario anterior:

Técnicamente, estas afirmaciones deberían restringirse a una región de la variedad que esté simplemente conectada (todos los bucles de la región pueden deformarse suavemente hasta un punto sin salir de la región); a continuación asumiremos implícitamente esta condición.

II) Ref. 1 alude aparentemente a la Lema de Poincaré en el texto. En Lema de Poincaré entra varias versiones y generalizaciones por ejemplo,

1. En un contractible toda forma cerrada es exacta (excepto las formas nulas).

2. En un en forma de estrella vecindario, toda forma cerrada es exacta (excepto las formas nulas).

3. En una vecindad suficientemente pequeña, toda forma cerrada es exacta (excepto las formas nulas).

4. En un entorno conectado y simplemente conectado toda forma única cerrada es exacta.

5. En un colector $M$ donde el homotopía grupos $\pi_0(M)=\pi_1(M)=\ldots=\pi_r(M)=0$ desaparecer, cada cerrado $r$ -forma es exacta.

En concreto, Ref. 1. utiliza la versión 4.

III) Ejemplo: Monopolo magnético. Sea el colector $M=\mathbb{R}^3\backslash\{0\}$ que es conexa y simplemente conexa, pero no contractible. La doble forma $$B~:=~\sum_{i,j,k\in\{1,2,3\}}\epsilon_{ijk}\frac{x^i}{r^3}\mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^k, \qquad r~:=~\sqrt{\sum_{i\in\{1,2,3\}}(x^i)^2}~>~0, $$ del campo magnético dualizado es una dos-forma cerrada pero no una dos-forma exacta en $M$ . (La forma única del potencial magnético $A$ no puede definirse en un Cuerda de Dirac .)

Referencias:

1. S. Carroll, Espaciotiempo y geometría Sección 3.6, páginas 124-125.