¿Pueden utilizarse los diagramas de Feynman para representar cualquier teoría de perturbaciones?

Question

En Teoría Cuántica de Campos y Física de Partículas utilizamos diagramas de Feynman. Pero por ejemplo en el libro de texto de Schwartz y aquí se demuestra que es aplicable a casos más generales como la teoría general de perturbaciones para ecuaciones diferenciales.

¿Pueden utilizarse los diagramas de Feynman para representar cualquier teoría de perturbaciones?

Se me ocurre que podríamos utilizarlo para la teoría de perturbaciones en sistemas de ecuaciones acopladas, como ocurre en la dinámica de fluidos o la astrofísica. Pero, ¿sigue siendo posible escribir las reglas de Feynman como una representación pictórica? Y si todavía funciona en este caso, ¿hay casos en los que exhiben una estructura algebraica diferente que las reglas de Feynman no pueden representar?

Nótese que no se trata de una pregunta sobre la teoría de perturbaciones en la teoría cuántica de campos (ya que allí el uso de diagramas de Feynman es bien conocido), sino en un contexto más general. Si la respuesta a la pregunta es simplemente "no", ¿podría al menos dar clases de teorías de perturbaciones a las que se aplica?

Answer 1

La maquinaria de diagramas funciona también para la teoría de perturbaciones en mecánica estadística clásica y teorías de campo clásicas. En general, los distintos tipos de diagramas constituyen una forma pictórica de hablar de los productos tensoriales y sus contracciones, ocultando el álgebra multilineal a los profanos. En el caso más sencillo,

• Los vértices (o manchas) representan vectores, matrices y tensores;
• Los vértices tienen puertos de entrada y/o salida;
• Los puertos entrantes denotan índices ro (contravariantes);
• los puertos salientes denotan índices co (covariantes);
• Los arcos dirigidos entre manchas dan un par de índices iguales sumados;
• diferentes espacios base $\Leftrightarrow$ diferentes tipos de arco;
• tensores simétricos $\Leftrightarrow$ diagramas no dirigidos;
• no se necesitan etiquetas para las líneas internas.

En muchos casos, los arcos dirigidos están decorados (como líneas finas, gruesas, quebradas, onduladas, rizadas), cada decoración indica la presencia de un denominado propagador, una función de su etiqueta para utilizarla como peso en la suma, que puede convertirse en una integral si la si la etiqueta es continua, o una suma sobre una integral si la etiqueta tiene una parte discreta y otra continua. discreta y continua.

En física, los diagramas aparecen típicamente en perturbativos de soluciones de ecuaciones que contienen un parámetro pequeño, resolubles exactamente si este parámetro se fija en cero. La expansión en potencias del parámetro pequeño contiene términos formados por tensores. El uso de diagramas en la teoría de perturbaciones de las de las ecuaciones diferenciales parciales clásicas se discute, por ejemplo, en los artículos

• V. Mathieu, A.H. Mueller y D.N. Triantafyllopoulos, La ecuación de Boltzmann en la teoría clásica de Yang-Mills, Eur. Phys. J. C 74 (2014), 1-15.
• S. Jeon, The Boltzmann equation in classical and quantum field theory, Phys. Rev. C 72 (2005), 014907.
• R. Penco y D. Mauro, Perturbation theory via Feynman diagrams in classical mechanics, Eur. J. Phys. 27 (2006), 1241-1249.
• R.C. Helling, Resolución de ecuaciones de campo clásicas , Manuscrito (sin fecha).

Los diagramas también aparecen en la mecánica estadística clásica y cuántica para describir correcciones al comportamiento del gas ideal o del campo medio. Esto se documenta en todos los libros de texto de mecánica estadística.

En la teoría cuántica de campos, los diagramas se utilizan mucho como diagramas de Feynman; aquí los índices $i$ típicamente se convierten en etiquetas continuas de momento (con índices discretos adicionales en caso de partículas con espín), las sumas se convierten en integrales (y sumas sobre índices discretos adicionales que tienen en cuenta el espín). Estos diagramas de Feynman en la descripción perturbativa de los elementos de la matriz S. En la teoría de perturbaciones, la versión clásica de una teoría cuántica de campos sólo contiene diagramas de árbol, mientras que la versión cuántica también contiene diagramas con uno, dos o más bucles. Tras la renormalización, éstos dan las correcciones cuánticas a la teoría clásica.

El hecho de que los diagramas de árbol de Feynman también surjan en las teorías de campo clásicas obtenidas tomando el límite $\hbar\to0$ en las teorías cuánticas de campos correspondientes muestra que la interpretación de las líneas internas de un diagrama de Feynnman como partículas virtuales es de naturaleza puramente formal, sin ningún significado intrínseco (que sería heredado por las teorías clásicas de campos).

Answer 2

La respuesta es no en general. No todas las teorías de perturbación pueden organizarse mediante reglas diagramáticas (el ejemplo se da a continuación). La sutileza aquí es que no porque se puedan escribir diagramas para describir cada uno de los términos de la teoría de perturbaciones, se sabe cuáles son las reglas diagramáticas.

Lo que quiero decir con esto es que puede ocurrir que después de calcular una teoría de perturbaciones en un orden determinado (utilizando enfoques analíticos estándar), puedas reescribir el resultado como una suma de diagramas, en lugar de una ecuación. Pero no porque conozcas los diagramas en un orden dado, sabes inmediatamente cuáles serán los diagramas del siguiente orden, y en particular los coeficientes numéricos (lo que serían los factores de simetría en la teoría de perturbaciones QFT estándar). Esto lo cambia todo, porque si no conoces las reglas diagramáticas, no puedes escribir fácilmente todos los diagramas en cada orden de forma automática, y tienes que hacer el cálculo por las malas. Por supuesto, en QFT estándar, debido a que los diagramas provienen del promedio sobre una medida gaussiana, conocemos las reglas diagramáticas, y los diagramas de Feynman son muy útiles para organizar la teoría de perturbaciones.

El contraejemplo que tengo está tomado de un problema de física estadística, en el que se quiere calcular la expansión a alta temperatura de la energía libre de Gibbs (acción efectiva) de un modelo de Ising. Hay varias maneras de hacer el cálculo, y al final uno puede dibujar diagramas, pero las reglas diagramáticas son desconocidas (es decir, cuando uno pasa de un orden al siguiente, los coeficientes delante de diagramas similares no parecen seguir una regla). En ese caso, creo que el problema viene del hecho de que la acción no perturbada no es cuadrática (no se tiene el teorema de Wick, por ejemplo). Si efectivamente existen reglas y simplemente no se han encontrado, o si simplemente no existen es, que yo sepa, una cuestión abierta. La referencia para este cálculo es A. Georges y J. S. Yedidia, J. Phys. A 24, 2173 (1991).

Answer 3

Si estiramos la definición de diagrama de Feynman, entonces sí: la técnica puede aplicarse a cualquier problema en el que se utilice la teoría de perturbaciones. Pero si por diagrama de Feynman se entiende exactamente la misma filosofía que subyace a la QFT, entonces en principio la respuesta es no: sólo funciona en aquellos problemas en los que se tiene la misma estructura algebraica de la QFT.

En QFT, hay dos aproximaciones a los diagramas de Feynman: cuantificación canónica y integrales de trayectoria . Estas últimas pueden resumirse en las integrales de tipo gaussiano $$ g_n\equiv\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2n}\mathrm e^{-\frac{1}{2}ax^2}=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}a^{-n}(2n-1)!! \tag{1} $$

diagramas de Feynman surge cuando intentamos calcular $g_n$ utilizando argumentos combinatorios junto con la integral generatriz $$ z_j=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm e^{-\frac{1}{2}ax^2+jx} \tag{2} $$ donde, por ejemplo, $g_2=[\partial^2z_j]_{j=0}$ . Para más información, consulte Ideas y nociones matemáticas de la teoría cuántica de campos .

Esto significa: siempre que se pueda invocar la combinatoria para algún problema en cuestión, entonces en principio se pueden utilizar diagramas para representar las diferentes combinaciones, lo que a su vez significa que se puede replantear el problema mediante diagramas de Feynman.

La cuantificación canónica, por su parte, se ocupa de los operadores con estructura algebraica $$ [a_i,a_j]=0\qquad [a_i,a_j^\dagger]\sim \delta_{ij} \tag{3} $$

En este caso, se puede utilizar esta estructura algebraica para demostrar el teorema de Wick, que es (casi) lo mismo que los diagramas de Feynman. Esto significa: si tienes cualquier teoría en algún espacio de Hilbert, donde los operadores satisfacen $(3)$ (por ejemplo, algún problema de Sturm-Liouville), entonces en principio se pueden utilizar diagramas de Feynman para resolver problemas.

El ejemplo trivial es, por supuesto, el operador diferencial $a:L^2(\mathbb R)\to L^2(\mathbb R)$ $$ a f(x)=\left(x+\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)f(x) \tag{4} $$ es decir, el operador escalera del oscilador armónico cuántico. Se pueden utilizar los diagramas de Feynmal para calcular cualquier "valor de expectativa" $$ \int_{-\infty}^{+\infty} p(x) f(x)\mathrm dx \tag{5} $$ donde $p(x)$ es un polinomio cualquiera. Como las funciones propias de $a^\dagger a$ son polinomios (de Hermite) multiplicados por una exponencial gaussiana, obtenemos $(1)$ atrás.

Resumiendo: si ampliamos la noción de diagramas de Feynman, entonces supongo que podrías utilizarlos para la mayoría de los problemas (aunque no estoy seguro de la utilidad de esto). Por otro lado, el significado estándar de los diagramas de Feynman sólo se puede utilizar si estás haciendo lo mismo para lo que se inventaron, es decir, integrales de trayectoria, o algo que comparta la misma estructura algebraica.

Un buen ejemplo del uso de los diagramas de Feynman en problemas generales se da en Resolución de ecuaciones de campo clásicas donde el autor explica cómo se pueden utilizar los diagramas para resolver perturbativamente las EDP no lineales. En este sentido, podría decirse que muchos problemas en física pueden resolverse utilizando diagramas de Feynman, debido a la ubicuidad de las ecuaciones diferenciales en física.

Otro ejemplo del uso de los diagramas de Feynman para la teoría de perturbaciones se da en este buen post de QMechanic, donde se puede ver que los diagramas de Feynman se pueden utilizar en la mecánica cuántica (no relativista) para simplificar la evaluación de orden superior de orden superior en la teoría de perturbaciones.

Answer 4

La maquinaria de los diagramas de Feynman puede utilizarse para CUALQUIER teoría purturbativa (en la que las constantes de acoplamiento son menores que la unidad, por ejemplo la QED), así como para teorías no purturbativas (en las que las constantes de acoplamiento son mayores que la unidad, por ejemplo la QCD a bajas energías o a grandes escalas). Así lo señalan Bjorken y Drell,

Los gráficos de Feynman y las reglas de cálculo resumen el campo cuántico de campo cuántico en una forma en estrecho contacto con los números experimentales que uno se quiere entender. Aunque el enunciado de la teoría en términos de gráficos puede implicar teoría de perturbaciones, el uso de métodos gráficos en el problema de muchos cuerpos muestra que este formalismo es suficientemente flexible para tratar con fenómenos de carácter no perturbativo Alguna modificación de las reglas de cálculo de Feynman bien podría sobrevivir a la elaborada estructura matemática de la teoría cuántica de campos canónica local

Sin embargo, recordemos también que estos diagramas (tomados individualmente) sólo son representativos de la realidad en el sentido de que representan las trayectorias de las partículas en etapas intermedias de cualquier proceso de dispersión. Esto significa literalmente que es su suma la que representaría la realidad en sí.

Answer 5

Considere la ecuación diferencial como una restricción sobre las variables dinámicas implicadas. A continuación, puede considerar un lagrangiano de campo libre en el que implemente las restricciones mediante multiplicadores de Lagrange. Es evidente que todas las propiedades de la solución pueden extraerse de dicha teoría de campos. Además, está claro que se puede tratar el problema utilizando la teoría de perturbaciones tratando los términos de las restricciones como una perturbación (multiplicándolos por $g$ y ampliar en potencias de $g$ ).