En $\mathbb Q_p$ los racionales p-ádicos; las extensiones totalmente ramificadas de Tamely se obtienen adosando soluciones de la ecuación $x^e-pu=0$ donde $e$ es el índice de ramificación y $u\in \mathbb Z_p^\times$ .
¿Por qué es cierto? Parece que no puedo entender cómo las raíces de $x^e-pu=0$ están relacionados con la demanda $p\nmid e$ por la suavidad de la ramificación
Si $K/\Bbb{Q}_p$ es una extensión finita entonces su anillo de enteros $O_K$ es un DVR con uniformizador $\pi_K$ para que $\pi_K^e = pu$ para algunos $u \in O_K^\times$ .
Que $K/\Bbb{Q}_p$ está totalmente ramificado significa $O_K/(\pi_K) \cong \Bbb{F}_p$ para que $O_K = \{ \sum_{n=0}^\infty b_n \pi_K^n, b_n \in \{ \zeta_{p-1}^a\} \cup \{0\}\}= \sum_{n=0}^{e-1} \pi_K^n \Bbb{Z}_p$ y $[K:\Bbb{Q}_p]=[O_K:\Bbb{Z}_p]=e$ . Nota $u \in \zeta_{p-1}^a +\pi_K O_K$ para algún número entero $a$ .
Que $K/\Bbb{Q}_p$ se ramifica dócilmente significa $p \nmid e$ .
Esto es importante porque para $p \nmid e$ entonces $(1+t)^{1/e} = \sum_{k=0}^\infty {1/e \choose k} t^k$ converge para $t \in \pi_K O_K$ para que $w=(u^{-1} \zeta_{p-1}^a)^{1/e} \in O_K^\times$ y por lo tanto $\varpi_K=w\pi_K= (p \zeta_{p-1}^a)^{1/e}$ es también un uniformizador de $O_K$ es decir. $K = \Bbb{Q}_p(\varpi_K)$ .
Por último $\varpi_K$ es una raíz de $x^e - \zeta_{p-1}^a p\in \Bbb{Q}_p[x]$ un polinomio de grado $[\Bbb{Q}_p(\varpi_K):\Bbb{Q}_p]$ que debe ser su polinomio mínimo.
Lo siento pero tu respuesta es un poco avanzada para mi.. 1. ¿La primera frase proviene de la afirmación de que cualquier elemento de $K$ puede escribirse como $\pi_K^mu$ para algunos $m \in \mathbb Z$ y $|u|_p=1$ y por lo tanto, en particular, $p=\pi_K^eu$ ? 2. Sé que $O_K$ como $\{x \in K||x|_P<=1\}$ . No soy a lo que te refieres con $\zeta_{p-1}^a$ .
La cuestión principal es que el $p$ -la valoración de los productos se extiende a $K$ para que $O_K$ es un DVR completo. Sí cualquier elemento de $K^*$ es de la forma $\pi_K^m u$ . Y $\zeta_{p-1}$ es un $p-1$ -ésima raíz primitiva de la unidad, con $g \in \Bbb{Z}$ de orden $p-1$ modulo $p$ entonces $\zeta_{p-1} = \lim_{n \to \infty} g^{p^n}$ . Aquí puede sustituir $\zeta_{p-1}$ por $g$ pero en general para extensiones no totalmente ramificadas se necesitan raíces de la unidad.
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