Polinomio de grado 4

Question

Resolver la ecuación $x^4 - 14x^3 + 50x^2 -14x + 1 = 0$ .
No estoy seguro de cuál es la mejor manera de proceder, y me gustaría encontrar una solución que no implique la fórmula cuártica generalizada.

Answer 1

Pista: Primero observa que la ecuación es palindrómica. Divídelo todo con $x^2$ y reescribirla como una cuadrática en $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$ .

Answer 2

Sin conocer el truco de la sustitución, de todas formas se puede deducir que si $x$ es una solución, entonces $1/x$ de modo que el polinomio puede factorizarse en dos polinomios de segundo grado, que también serán palindrómicos:

$$x^4 - 14x^3 + 50x^2 -14x + 1 =(x^2+Ax+1)(x^2+Bx+1).$$ Desarrollar e identificar, $$A+B=-14,\\1+AB+1=50.$$ Las soluciones son $$\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot48}}2=-8,-6.$$

Ahora resuelve $$x^2-8x+1=0,\\x^2-6x+1=0.$$

Answer 3

Una solución más detallada:

Si dividimos la ecuación por $x^2$ :

$$\frac{x^4}{x^2} - \frac{14x^3}{x^2} + \frac{50x^2}{x^2} - \frac{14x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 14x + 50 - \frac{14}{x} + \frac{1}{x^2}$$

Entonces, combinando términos similares, observamos que:

$$x^2 + \frac{1}{x^2} - 14\left(x+\frac{1}{x}\right) + 50$$

Si dejamos que $y = x+\frac{1}{x}$

Tenga en cuenta que:

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$$

Por lo tanto,

$$x^2 + \frac{1}{x^2} - 14\left(x+\frac{1}{x}\right) + 50 = y^2 -2 -14y + 50 =0$$

$$y^2 - 14y +48 =0$$

$$(y-6)(y-8) = 0$$

Por lo tanto, $x + \frac{1}{x} = 6$ y $x + \frac{1}{x} = 8$

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