Problema de la asignación cardinal

Question

A asignación cardinal débil es cualquier operación definida sobre conjuntos $A\mapsto |A|$ que satisface (C1) y (C3), y es una fuerte asignación cardinal si también satisface (C2). La dirección números cardinales (en relación con una asignación cardinal dada) son sus valores, $$Card(\kappa)\iff \kappa \in Card\iff_{def} (\exists A)(\kappa=|A|)$$

(C1) $A=_c|A|$ (notación: $A=_c B$ si existe una biyección entre los conjuntos $A$ y $B$ )

(C2) si $A=_c B$ entonces $|A|=|B|$

(C3) para cada conjunto de conjuntos $\mathscr E$ , $\{|X|: X\in \mathscr E\}$ es un conjunto

¿Cómo debo entender la palabra "operación"? ¿Es una "regla" que asigna a cada elemento de la clase de conjuntos otro elemento de la clase de conjuntos? (Entonces $Card$ es una especie de alanálogo de una función entre conjuntos; pero aquí consideramos clases en lugar de conjuntos). ¿Puede formalizarse la noción de "regla" (como en el caso de los conjuntos, cuando existe una definición formal de función)?

Observe que sólo hay una opción para $|\emptyset|$ , $$0=_{def} |\emptyset|=\emptyset,$$ ya que sólo $|\emptyset|=\emptyset$ satisface $\emptyset=_c|\emptyset|$ . También es conveniente configurar $$1=_{def}|\{0\}|, 2=_{def}|\{0,1\}|$$ así que tenemos nombres útiles para los números cardinales de los singletons y doubletons.

¿Por qué sólo $\emptyset$ satisfacer $\emptyset=_c|\emptyset|$ ? ¿Acaso ningún conjunto $A$ satisfacer $A=_c |A|$ por (C1)? Además, ¿no es $|A|$ se supone que es un conjunto para cualquier conjunto $A$ ? (Según como he descrito la operación $A\mapsto |A|$ .) $0$ no es un conjunto, ¿cómo puede ser igual al conjunto $|\emptyset|$ ? Además, ¿por qué $|\emptyset|=\emptyset$ ¿Sostener?

Del mismo modo, ¿cómo puede el no-conjunto $1$ sea igual al conjunto $|\{0\}|$ y lo mismo para $2$ ?

Answer 1

La manera más formalista de entender lo que está pasando es que a ZFC (o a cualquier teoría de conjuntos que estemos utilizando) le hemos añadido un nuevo símbolo de función que resulta que escribimos en notación outfix. Es decir, si $t$ es algún término de la nueva teoría extendida, entonces $|t|$ también es un término. No hay ninguna noción de "regla" que deba explicarse. Se puede entender como una "función" excepto entre clases, pero esto no ayuda mucho y puede llevar a mucha confusión, en mi opinión. Es $|{\_}|$ que es la "operación", no $Card$ . $Card$ es un símbolo de predicado. En este caso, sin embargo, este símbolo de predicado puede añadirse a nuestra ZFC ampliada mediante un ampliación por definición . De hecho, la definición es $Card(\kappa)\iff \exists A.\kappa=|A|$ . Personalmente, no escribiría $\kappa\in Card$ ya que esto sugiere que $Card$ es un conjunto que no es. A muchos autores les gusta describir los conjuntos como clases especiales y utilizan la expresión $\in$ para clases arbitrarias. Creo que esto es un error y es definitivamente no lo que ocurre formalmente en ZFC. Algunas otras teorías de conjuntos sí tienen una noción formal de "clase", pero se trata de algo muy sutilmente distinto. Personalmente, prefiero hablar de predicados que de clases.

Como afirma James, $|\emptyset|=\emptyset$ porque, por C1, debemos tener $|\emptyset|=_c\emptyset$ pero sólo hay un conjunto que está en biyección con $\emptyset$ a saber $\emptyset$ sí mismo. Esto no es válido para ningún otro conjunto. Como he dicho en el comentario, el texto que has citado es explícitamente definición de $0$ ser $\emptyset$ . También define explícitamente $1$ ser $|\{\emptyset\}|$ y lo mismo para $2$ . En realidad, esto no nos dice qué conjuntos $1$ ou $2$ son. Todo lo que sabemos es que están en biyección con $\{\emptyset\}$ y $\{\emptyset, |\{\emptyset\}|\}$ respectivamente. Desde un punto de vista formal, se pueden considerar extensiones adicionales mediante definiciones. Para entenderlo mejor, formal presentaciones de ZFC, por ejemplo éste no suelen definir cualquier términos cerrados. Por ejemplo, $\emptyset$ no es un término de ZFC. Toda la notación "normal" de la teoría de conjuntos puede entenderse como diversas extensiones por definiciones sobre estas presentaciones minimalistas de ZFC. En cualquier caso, no tiene sentido decir " $0$ no es un conjunto". O bien $0$ es un término de su teoría de conjuntos, en cuyo caso es un conjunto porque estamos trabajando en una lógica de orden simple y por lo tanto todos los términos son el mismo tipo de cosa, que son conjuntos en una teoría de conjuntos 1 o $0$ no es un término y carece de sentido hablar de expresiones que lo incluyan. Es decir, o bien $0$ es un conjunto porque no puede ser otra cosa, o cualquier afirmación sobre $0$ no tiene sentido.

1 Podríamos trabajar con una lógica multiordenada para permitir diferentes tipos de términos. Otra posibilidad son las teorías de conjuntos (de orden simple), incluso variaciones de ZFC que tienen urelementos (también conocidos como átomos). En estas teorías, sería posible definir $0$ ser un átomo y, por tanto, no un conjunto. Sin embargo, los individuos de estas teorías ya no son sólo conjuntos.