Por definición $G$ es policíclica si existe una serie normal en la que todos sus factores son cíclicos, es decir:
$\exists\ \{e\}=G_0 \unlhd G_1\unlhd\ldots\unlhd G_{n-1}\unlhd G_n=G $ con $\frac{G_k}{G_{k-1}}$ cíclico para todos $k$ con $1\leq k\leq n$ .
Sea $H\leqslant G$ entonces prueba $H$ es policíclico.
Lo que he probado es tomar $H_i =G_i \cap H$ para todos $i$ con $0 \leq i\leq n $ . Tenemos que todos $H_i$ son subgrupos de $G$ y $G_{k-1}\unlhd G_k$ implica $H_{k-1}\unlhd H_k$ .
Ahora tenemos que demostrar que $\frac{H_k}{H_{k-1}}$ es cíclico. Estoy tratando de demostrar que $\frac{H_k}{H_{k-1}} \leqslant \frac{G_k}{G_{k-1}}$ porque $\frac{G_k}{G_{k-1}}$ es cíclico y esa sería la prueba. Pero no sé cómo probarlo.
Buscando en la red he encontrado que $\frac{H_k}{H_{k-1}} \cong \frac{G_{k-1}H_k}{G_{k-1}}\leqslant \frac{G_k}{G_{k-1}}$ pero no lo entiendo. Agradecería cualquier ayuda para entender esa frase final.
