Para $k\in{\mathbb Z},k\neq 0$ denotemos por $f(k)$ el número de puntos integrales de la curva de Mordell $y^2-x^3=k$ . Según los datos de http://tnt.math.se.tmu.ac.jp/simath/MORDELL el mayor valor de $f$ en el intervalo $[-10000,10000]$ es 32, alcanzado para $k=1025$ .
¿Se sabe/prevé si $f$ puede tomar valores arbitrariamente altos?
El mayor valor para $f(k)$ que yo sepa es un ejemplo debido a Noam Elkies con $k = 509142596247656696242225$ donde hay (al menos) $125$ pares de soluciones (así $f(k)=250$ en su notación). Si los rangos de las curvas elípticas sobre los racionales están absolutamente acotados, entonces también lo está $f(k)$ (siempre que se restrinja a $6$ valores libres de potencia de $k$ para evitar el escalado trivial). Sin embargo, nada es demostrable en este momento.
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