Multiplicación de matrices cuadradas elevadas a una potencia

Question

¿Hay alguna manera de evaluar una expresión que implica una matriz a la potencia $n$ multiplicado por una constante $D$ : $$D\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{n} $$ Obviamente puedo hacerlo si no existiera esta potencia pero con ella estoy algo atascado, ¿hay alguna regla de álgebra lineal útil que se pueda utilizar? Sé que los valores propios y vectores de esta matriz, así si eso ayuda a

Answer 1

Por el Forma normal de Jordania cualquier $2\times 2$ matriz $M$ (sobre $\Bbb C$ ) es similar a una matriz $J$ que se parece a uno de los siguientes:

$$J=\begin{bmatrix} \lambda _1 & 0\\ 0 & \lambda_2\end{bmatrix} \text{ or } J=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 1\\ 0 & \lambda_1 \end{bmatrix}$$ donde $\lambda_1 ,\lambda _2$ son los valores propios de $M$ .

Por lo tanto $M^n=(P^{-1}JP)^n=\color{grey}{P^{-1}J(PP^{-1})JP\ldots P^{-1}J(PP^{-1})JP}=P^{-1}J^nP$ .

Si $J=\begin{bmatrix} \lambda _1 & 0\\ 0 & \lambda_2\end{bmatrix}$ entonces $J^n=\begin{bmatrix} \lambda _1^n & 0\\ 0 & \lambda_2^n\end{bmatrix}$ .

Si $J=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 1\\ 0 & \lambda_1 \end{bmatrix}$ entonces $J^n=\begin{bmatrix} \lambda_1^n & n\lambda_1^{n-1}\\ 0 & \lambda_1^n \end{bmatrix}$ . (Véase este ).

Lo único que le queda por hacer es encontrar $P$ .

Answer 2

El caso en que la matriz $A$ es diagonalizable es obvio. Ahora bien, si la matriz no es diagonalizable entonces en $\mathbb{C}$ es trigonalizable y $A$ puede reducirse a la forma canónica de Jordan $$A=P\left(\begin{array}{cc}\lambda&1\\0&\lambda\end{array}\right)P^{-1}=PBP^{-1}$$ y tenemos $B=D+N$ donde $D=\mathrm{diag}(\lambda,\lambda)$ y $N$ es una matriz nilpotente y $N^2=0$ por lo que tenemos $$B^n=(D+N)^n=D^n+nD^{n-1}N$$ por lo tanto tenemos $$A^n=PB^nP^{-1}=P(D^n+nD^{n-1}N)P^{-1}$$

Answer 3

Diagonalizar (donde S es la matriz de vectores propios y $\Lambda$ es la matriz diagonal con valores propios): $$A=S \Lambda S^{-1}$$ $$A^n=S \Lambda S^{-1}S \Lambda S^{-1}... = S \Lambda^n S^{-1}$$

Esto funciona siempre que A tenga 2 valores propios únicos.