resolver la ecuación diferencial $y''− k^2y=0$ mediante reducción de orden

Question

¿Hay alguna forma de resolver $$y''k^2(y)=0$$ utilizando sólo el método de reducción de orden? Lo reduje y continué con la separación de variables, pero la solución parece completamente diferente de la solución dada por el libro $$y=c_1 e^{kx} + c_2 e^{kx}$$ mi solución es: $x=\ln \left|\sqrt{k^2y^2+c_1}+ky\right| +c_2$ ¿Hay alguna forma de convertir esta ecuación en la anterior?

Answer 1

Alternativamente, puede proceder como se indica a continuación: \begin{align*} y'' - k^{2}y = 0 & \Longleftrightarrow (y'' - ky') + (ky' - k^{2}y) = 0\\\\ & \Longleftrightarrow (y' - ky)' + k(y' - ky) = 0\\\\ & \Longleftrightarrow u' + ku = 0\\\\ & \Longleftrightarrow u = ae^{-kx}\\\\ & \Longleftrightarrow y' - ky = ae^{-kx}\\\\ & \Longleftrightarrow (ye^{-kx})' = ae^{-2kx}\\\\ & \Longleftrightarrow ye^{-kx} = be^{-2kx} + c\\\\ & \Longleftrightarrow y(x) = be^{-kx} + ce^{kx} \end{align*}

Espero que esto ayude.