(Des)acotamiento de homomorfismo de valor real en alguna red.

Question

Sea $\mathbb{Z}^k$ denota el grupo abeliano libre finitamente generado en $k$ generadores y considerar una inyectiva homomorfismo $$\chi \colon (\mathbb{Z}^k,+) \to (\mathbb{R},+).$$ Ahora dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia de pares distinto elementos en $\mathbb{Z}^k$ . Mi pregunta es:

¿Existe una sucesión de $(a_n)$ tal que $\vert \chi(a_n) \vert$ tiende a $+\infty$ ?

La respuesta para $k=1$ es sí como entonces $\chi$ corresponde a una multiplicación distinta de cero y se puede extraer una subsecuencia de $(a_n) \subseteq \mathbb{Z}$ ya sea yendo hacia $+ \infty$ de $-\infty$ .

Para $k>1$ esto parece más sutil y ya no estoy seguro de que la respuesta a la pregunta sea afermativa. Tal vez la siguiente parte pueda ser útil:

Observe que $\chi$ puede verse como un vector $(\chi_1, \dots, \chi_k) \in \mathbb{R}^k$ tal que $$\chi(b^1,\dots b^k)=\langle (\chi_1, \dots,\chi_k),(b^1,\dots,b^k) \rangle=\sum_{i=1}^k \chi_i \cdot b^i.$$ Inyectividad de $\chi$ implica entonces que el $(\chi_i)_{i=1}^k \subseteq \mathbb{R}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ .

Answer 1

Al principio sólo dejé un comentario, ya que sólo tenía un concepto general y no tenía tiempo para elaborar los detalles. Pero como los comentarios son efímeros y he reflexionado un poco más, voy a dar una respuesta adecuada.

Sea $$\eta = \sum_{k=0}^\infty 2^{-2^k}$$

Dado que su expansión binaria no se repite, $\eta$ debe ser irracional. para todos $n\ge 0$ , dejemos que $$q_n = 2^{2^n},\quad p_n = \lfloor q_n\eta \rfloor$$ Entonces $$0 \le q_n\eta - p_n = 2^{2^n}\sum_{k=n+1}^\infty 2^{-2^k} < 2^{2^n}\sum_{l=2^{n+1}}^\infty 2^{-l} = 2^{2^n}2^{1-2^{n+1}} = 2^{1-2^n} \to 0$$ como $n \to \infty$ .

Por lo tanto, el mapa $\chi : \Bbb Z^2 \to \Bbb R : (n, m) \mapsto n + m\eta$ es un homorfismo inyectivo de grupos aditivos, y existe una secuencia $(a_n) = (-p_n) \times (q_n)$ tal que $\chi(a_n) \to 0$ como $n \to \infty$ y, por tanto, lo mismo ocurre con todas las subsecuencias. El criterio de distinción por pares se deduce de $q_n = 2^{2^n}$ .