Hallar el radio de convergencia de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n!}(z-1-i)^n}$

Question

Hallar el radio de convergencia de $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n!}(z-1-i)^n}$$ pero cuando intenté la prueba de proporción, obtuve $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\dfrac{\frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)!}}{\frac{(-1)^{n+1}}{n!}}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\dfrac{-1}{n+1}\right|=0$$ entonces esto significa que el radio de convergencia es (perdón por la notación incorrecta; lo entiendes) $\frac{1}{0}=\infty$ ? Esto se dio como ejercicio pero no hemos tenido ningún ejemplo así... ¿Está bien?

Answer 1

¿Por qué no utilizar directamente la fórmula Cauchy-Hadamard si es razonablemente fácil?:

$$\frac1R=\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n!}\right|}=\frac1{\sqrt[n]{n!}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0\implies R=\infty $$