¿Por qué la energía potencial de un muelle es la misma cuando se comprime y cuando se estira?

Question

Estoy dando una clase en un instituto y quiero introducir la energía potencial de un muelle. Mis alumnos no han aprendido la Ley de Hooke y la noción de integral es demasiado avanzada. En realidad estoy intentando justificar con un argumento de manual que la energía viene dada por

$$U = \frac{1}{2}kd^2.$$

Para ello les hago ver que al estirar/comprimir el muelle cambiará su energía. Esto me permite justificar por qué sólo depende de las propiedades del muelle captado por $k$ y la deformación $d$ .

Entonces mirando las unidades de energía deberían darse cuenta de que la deformación $d$ tiene que elevarse al cuadrado y que la constante $k$ se encarga de las unidades restantes.

Pero si un estudiante argumenta que $k$ podría definirse con otras unidades para que la dependencia en $d$ es lineal, podría responder que la energía debería ser idéntica tanto si el muelle se estira como si se comprime, de modo que sólo $|d|$ o $d^{2n}$ son posibles soluciones. Veo cómo justificar que $|d|$ no es una solución física porque crearía una cúspide en la energía en $d=0$ y que a la naturaleza no le gusta eso (al menos a su nivel). Además, tener $n=1$ es sólo el caso más sencillo.

Por tanto, el argumento que me falta es cómo justificar que la energía es la misma cuando un muelle se estira/comprime por $d$ .

Por favor, que las respuestas sean poco matemáticas.

Answer 1

¡Estás yendo demasiado lejos con la navaja de Occam! Para esta física tan básica lo mejor es hacer pequeños experimentos en vivo y dejarlo a la autoridad de la Naturaleza.

Coge un muelle, cuélgalo en algún sitio y estíralo una cierta distancia. $d$ con algo de peso $W$ . El trabajo realizado por la carga es: $d\times W = U$ . Midiendo $d$ durante unos $W$ y luego calcular $U$ se puede comprobar fácilmente la dependencia cuadrática al alargar el muelle.

¿Y los negativos? $d$ ? Para ello tenemos que repetir el experimento comprimiendo el muelle. Fijando el muelle a una superficie y cargando pesos en su parte superior se puede averiguar fácilmente la misma dependencia cuadrática.

Por último, el punto clave es que tanto si el muelle está comprimido como alargado, la fuerza y el desplazamiento tienen siempre el mismo signo (positivo o negativo), por lo que siempre tenemos trabajo positivo sobre el muelle y energía positiva almacenada en él.

Answer 2

Si quieres evitar el cálculo, dales una comprensión geométrica: traza el $F vs. x$ y afirma que la energía es el área comprendida entre el eje x y la curva. Todos conocen el área de un triángulo (por tanto $1/2kx^2$ )

Sin embargo...

La expresión depende del muelle. Algunos muelles son de fuerza constante (muelles de fuerza constante), por lo que la expresión de la energía potencial no sería cuadrática.

Así que la mejor manera de evitar las matemáticas es simplemente afirmar que la ley de Hook es válida para la mayoría de los muelles, para pequeñas cantidades de estiramiento. Si preguntan por qué la energía es la misma en compresión y en tracción, basta con decir que hay muelles para los que esto no es cierto.

Answer 3

Dibuja un gráfico de "longitud del muelle" frente a "fuerza ejercida". Espero que estén de acuerdo en que si el muelle se ha estirado una distancia cero, no ejercerá ninguna fuerza. Esperemos que también estén de acuerdo en que si estiras el muelle en la dirección positiva, la fuerza es negativa, y viceversa. Y es de esperar que estén de acuerdo en que si aumentas la distancia estirada, aumentarás la fuerza. Así que deberías conseguir que estuvieran de acuerdo en que la gráfica es algo parecido a esto:

La forma exacta de la fuerza no importa, sólo la forma general. Luego di: "nos centraremos en lo que ocurre cuando el muelle se estira poco". Y luego dibuja la línea tangente en cero:

Esperemos que todos estén de acuerdo, sólo por la imagen, en que se trata de una buena aproximación cuando el desplazamiento es pequeño. Entonces podrás decir que, en esta aproximación, la fuerza ejercida por el muelle es claramente igual y opuesta cuando el muelle está comprimido o cuando está estirado. Por lo tanto, el muelle debería almacenar la misma cantidad de energía. Esta es una manera suave de introducir la idea de una expansión de Taylor de primer orden, que es en lo que se basa la ley de Hooke, pero de una manera que es fácil de entender gráficamente. Es mucho más fácil de entender que una aproximación de Taylor de segundo orden a la energía, ya que no es obvio por qué querrías aproximar cosas mediante parábolas si nunca has visto una serie de Taylor. Pero es bastante obvio por qué querrías aproximar cosas por rectas.