¿Por qué la energía potencial de un muelle es la misma cuando se comprime y cuando se estira?

Question

Estoy dando una clase en un instituto y quiero introducir la energía potencial de un muelle. Mis alumnos no han aprendido la Ley de Hooke y la noción de integral es demasiado avanzada. En realidad estoy intentando justificar con un argumento de manual que la energía viene dada por

$$U = \frac{1}{2}kd^2.$$

Para ello les hago ver que al estirar/comprimir el muelle cambiará su energía. Esto me permite justificar por qué sólo depende de las propiedades del muelle captado por $k$ y la deformación $d$ .

Entonces mirando las unidades de energía deberían darse cuenta de que la deformación $d$ tiene que elevarse al cuadrado y que la constante $k$ se encarga de las unidades restantes.

Pero si un estudiante argumenta que $k$ podría definirse con otras unidades para que la dependencia en $d$ es lineal, podría responder que la energía debería ser idéntica tanto si el muelle se estira como si se comprime, de modo que sólo $|d|$ o $d^{2n}$ son posibles soluciones. Veo cómo justificar que $|d|$ no es una solución física porque crearía una cúspide en la energía en $d=0$ y que a la naturaleza no le gusta eso (al menos a su nivel). Además, tener $n=1$ es sólo el caso más sencillo.

Por tanto, el argumento que me falta es cómo justificar que la energía es la misma cuando un muelle se estira/comprime por $d$ .

Por favor, que las respuestas sean poco matemáticas.

Answer 1

Una forma es explicar cómo funciona realmente un muelle.

Un muelle helicoidal es un alambre de gran tamaño enrollado en forma de hélice. Cuando comprimes o extiendes un muelle, desde la perspectiva del alambre, en realidad no estás empujando o doblando. Lo que se hace es torciendo el cable de una forma u otra.

Girar una barra en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario debería ser lo mismo.

Answer 2

Desgraciadamente, no hay ninguna razón física para que la energía deba ser la misma en +d y -d, porque en general no lo es. Todos los muelles son no lineales y no simétricos si se estiran lo suficiente. La razón por la que podemos escribir $F=-kx$ es que siempre puedes linealizar la fuerza para desplazamientos suficientemente pequeños, y entonces simplemente asumes que estás trabajando en el régimen lineal. Puede que sólo tengas que afirmar a los estudiantes que para desplazamientos suficientemente pequeños, las energías son las mismas en cada dirección. Alternativamente, podría utilizar otro sistema para el que no hubiera razón para creer que las energías no son simétricas, como un péndulo.

Un aspecto que podría mencionar es que la energía potencial de una partícula está relacionada con la fuerza que siente la partícula (ya que matemáticamente la fuerza es el gradiente negativo de la energía potencial). Este punto es poderoso para los argumentos intuitivos. Por ejemplo, puedes argumentar que la energía no debería ser |d| porque entonces la fuerza de restauración sería la misma si el muelle se estira poco o mucho, lo que parece poco razonable.

Si es posible, también puede hacer que los alumnos prueben esto con un muelle en el aula, sintiendo la fuerza al sostener el muelle desplazado en diferentes cantidades en cualquier dirección para que se hagan a la idea de que la fuerza es simétrica a ambos lados del punto de equilibrio y que aumenta a medida que se tira (o se empuja más lejos).

Answer 3

En realidad, se trata de una cuestión práctica frente a teórica. Cualquier resorte se tienen un efecto no lineal. Pero en teoría lo ignoramos para una comprensión básica. Así que suponemos que es lineal. He aquí algunas formas de enfocarlo: Si el cuerpo del muelle está oculto a tus ojos y a lo único que tienes acceso es a una manivela móvil conectada al extremo libre del muelle (oculto), entonces no puedes saber en qué sentido se deforma el muelle (se estira o se comprime) cuando mueves esa manivela: se necesita la misma cantidad de energía para distorsionarlo la misma distancia. Además de eso, considere que una sección corta del muelle (por ejemplo, una sección corta del alambre del muelle, suponiendo un muelle helicoidal), se dobla en un sentido cuando el muelle se estira y en el otro sentido cuando el muelle se comprime. Al doblar un trozo de metal, se comprime un lado y se estira el otro, o se estira un lado y se comprime el otro. Si el muelle es homogéneo, se trata del mismo tipo de deformación.

Answer 4

Sus alumnos tienen razón. Sin la ley de Hooke, los muelles almacenarían energía linealmente.

Es decir, si la fuerza para extender o comprimir una cuerda fuera constante independientemente de la distancia de "reposo" a la que se encuentre el muelle, tendríamos k|d| energía almacenada al mover un muelle d distancia.

Y un dispositivo similar a un muelle que se comporte así es físicamente posible y razonable (hasta una aproximación bastante buena). Si su argumento no respeta este hecho, su argumento es erróneo, y cualquier convencimiento de sus alumnos que consiga está equivocado.

Esto, sin embargo, es una oportunidad. Plantea dos ecuaciones diferentes para la energía almacenada en un muelle, una con |d| y otra con d^2.

Averigüe cómo determinaría cuál es más correcto. ¿Qué predice cada ecuación?

Supongo que saben que energía = fuerza por distancia. Con |d| deberías ser capaz de demostrar que un pequeño cambio de distancia cerca del "reposo" y un pequeño cambio de distancia "lejos del reposo" deberían implicar la aplicación de la misma cantidad de fuerza.

Con d^2 este no es el caso; un pequeño movimiento de distancia cerca del reposo va a ser menos fuerza que uno lejos del reposo.

Así que ahora tenemos una predicción:

• Si E ~ k|d|, entonces la fuerza que aplica un muelle cerca del reposo es la misma que la fuerza que aplica un muelle lejos del reposo.

• Si E ~ k d^2, entonces la fuerza que aplica un muelle cerca del reposo es mucho menor que la fuerza que aplica un muelle lejos del reposo.

Podrías ir más allá y calcular que en el caso d^2, la fuerza es aproximadamente proporcional a d, pero no es necesario. 1

Ahora, coge dos muelles. Coloca uno cerca del resto. Coloque uno lejos del resto. Sujétalos de modo que el que está lejos del reposo intente alejar el que está cerca del reposo.

Si la hipótesis |d| es correcta, este sistema debería estar en equilibrio, ya que ambos muelles aplican la misma fuerza.

Si la hipótesis d^2 es correcta, el sistema no lo es, y el que está lejos del reposo debería tirar del que está cerca del reposo.

Y ... listo. Acabamos de probar experimentalmente que |d| no es cierto, y que d^2 es al menos coherente con observaciones. (No hemos demostrado que d^2 es correcto que requiere más trabajo).

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1 Supongamos que la energía de un muelle = 10 J * (d / 1 m)^2.

La energía a 1 cm y 2 cm es de 0,0001 J y 0,0004 J, lo que nos da aproximadamente 0,0003 J delta.

La energía a 1,01 m y 1,02 m es de 1,0201 J y 1,0404 J, lo que nos da aproximadamente 0,0203 J delta.

La energía a 2,01 y 2,02 m es de 4,0401 y 4,0804 J, lo que nos da un delta de 0,0403 J.

Si dividimos el delta J por la distancia media de estos lugares de prueba, obtenemos F ~ 0,02 * d N/m suponiendo que la fuerza no varía en distancias pequeñas.

Como se ha señalado, esto no es un requisito para el argumento anterior.

Answer 5

No sé si estoy en lo cierto, pero lo que se me ocurre es lo siguiente:

Puedes decirles que tomen (imaginen) dos muelles idénticos, y los pongan en contacto entre sí por un lado y sujetos a las paredes por los otros lados. Aplica ahora una fuerza horizontal en el punto de contacto de los muelles, de modo que uno se estire y el otro se comprima.

Ahora, la distancia a la que se han comprimido los muelles es la misma. Además, el trabajo realizado sobre ambos es el mismo (sumando todas las fuerzas, incluida la del muelle sobre el otro), lo que implica que la energía almacenado o la energía potencial es la misma.

Por favor, corrígeme si me he equivocado en algo o he ignorado algo.

Gracias.