Poligonalmente conectado

Question

Demostrar que cualquier conjunto abierto conexo en $C[0,1]$ está conectado poligonalmente.

(Aquí $C[0,1]$ es el espacio de funciones continuas de valor real sobre $[0,1]$ con la métrica: $d(f,g)=$ $sup$ { $|f(x)-g(x)| : 0\leq x\leq 1$ }; un recorrido poligonal es un recorrido formado por un número finito de segmentos de línea)

Answer 1

La prueba es prácticamente la misma que, por ejemplo, la prueba de que un conjunto abierto conexo en un espacio localmente conexo es conexo. No importa que se considere $C[0,1]$ en lugar de cualquier otro espacio vectorial normado:

Sea $(V, \|\cdot\|)$ sea un espacio vectorial normado (o más generalmente, sea $V$ sea un espacio vectorial topológico localmente convexo).

1. Demuestre que cualquier bola abierta en $V$ está conectado poligonalmente.

2. Sea $U$ sea un conjunto abierto conexo no vacío en $V$ . Sea $x_0 \in U$ y definir $A \subset U$ como los conjuntos de puntos $x \in U$ tal que existe una trayectoria poligonal en $U$ unirse a $x_0$ a $x$ . Demuestre que $A$ está abierto y cerrado en $U$ (utilice 1.) y concluya.