He intentado mostrar el siguiente problema pero no veo como:
Sea $(n_j)$ sea la secuencia de todos los naturales que no tienen cero como dígito. Demuestre que la serie $ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n_j}$ es convergente.
¿Podría darme alguna sugerencia? Gracias.
Consideremos otra secuencia que limita esta secuencia de arriba dejemos $a_i$ sea una secuencia con $a_i = 10^{|n_i|-1}$ donde $|n_i|$ es el número de dígitos de $n_i$ obviamente $a_i \leq n_i \implies \frac{1}{a_i} \geq \frac{1}{n_i} $ (con igualdad si y sólo si $n_i = 10^{d-1}$ ) y así $\sum \frac{1}{n_i} \leq \sum \frac{1}{a_i}$
ahora vamos a contar todos $a_i = 10^{d-1}$ para cada d, cada $a_i$ corresponde a un $n_i$ que es cualquier número con $d$ dígitos que no contiene un cero, por lo que sus cuentas son iguales y son iguales a $9^d$ por lo que la suma de todos los $\frac{1}{a_i}$ donde $a_i = 10^{d-1}$ es $\frac{9^d}{10^{d-1}} = 9*(\frac{9}{10})^{d-1}$ ponerlo todo junto para todo el número de dígitos $\sum_{d=1}^{\infty} = 9 \sum_{d=1}^{\infty}(\frac{9}{10})^{d-1}$ que converge como $9 \frac{1}{1 - \frac{9}{10}} = 90$
en resumen $\sum \frac{1}{n_i} \leq \frac{1}{a_i} = 90$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
