Probabilidades de salida del movimiento browniano de tiempo fijo

Question

Un cálculo estándar utilizando técnicas de martingala nos permite calcular la probabilidad de que un movimiento browniano iniciado en cero salga del intervalo $[-a,b]$ ( $a, b > 0$ ) en $-a$ o $b$ . Me parece que si sustituimos $B_t$ por $B_{t \wedge \delta}$ para pequeños $\delta$ entonces el argumento utilizado en ese cálculo se rompe porque ya no sabemos que la nueva martingala sale de esta región casi con seguridad. Esto parece un problema clásico que debería haber sido analizado en detalle en algún momento y tengo curiosidad por saber si alguien conoce la respuesta.

Formalmente, hay dos cuestiones relacionadas que me interesan: ¿Existen fórmulas explícitas para $P(B_{t\wedge \delta}$ sale de $(-a,b))$ o $P(B_{t \wedge \delta}$ sale de $(-a,b)$ en $-a$ )?

Answer 1

La idea principal es considerar estas cantidades simultáneamente para cada punto de partida $x$ y cada vez $t$ . Sea $T=\inf\{t\geqslant0\mid B_t\in\{-a,b\}\}$ .

La primera cantidad es $u(\delta,0)$ donde, para cada $-a\leqslant x\leqslant b$ y cada $t\geqslant0$ , $$ u(x,t)=\mathbb P_x(T\leqslant t). $$ Asimismo, la segunda cantidad es $v(\delta,0)$ donde, para cada $x$ en $[-a,b]$ y $t\geqslant0$ , $$ v(x,t)=\mathbb P_x(T\leqslant t,B_T=-a). $$ Cada función $u$ y $v$ es la solución única de alguna ecuación diferencial parcial con condiciones de contorno en el dominio $-a\leqslant x\leqslant b$ , $t\geqslant0$ . Por ejemplo:

• $u_t=\tfrac12u_{xx}$ para cada $-a\lt x\lt b$ y cada $t\gt0$ ,
• $u(x,0)=0$ para cada $-a\lt x\lt b$ ,
• $u(-a,t)=1$ para cada $t\geqslant0$ ,
• $u(b,t)=1$ para cada $t\geqslant0$ .

Lo mismo digo:

• $v_t=\tfrac12v_{xx}$ para cada $-a\lt x\lt b$ y cada $t\gt0$ ,
• $v(x,0)=0$ para cada $-a\lt x\lt b$ ,
• $v(-a,t)=1$ para cada $t\geqslant0$ ,
• $v(b,t)=0$ para cada $t\geqslant0$ .

Estas ecuaciones diferenciales garantizan que, cuando $t\to\infty$ , $u(t,x)\to1$ y $v(t,x)\to\frac{b-x}{b+a}$ para cada $-a\leqslant x\leqslant b$ .