Pentágono regular doblando una tira

Question

Para los alumnos más jóvenes es una sorpresa interesante descubrir que un nudo atado en una tira de papel es un pentágono regular. Me interesa encontrar una prueba geométrica sencilla, pero rigurosa, de este hecho "experimental".

El libro clásico Mathematical Models de H. Martyn Cundy y A.P. Rollett ( citado en Wikipedia ) extienden una construcción similar a otros polígonos regulares, pero no dan una prueba.

Es fácil demostrar que en un pentágono regular una diagonal es paralela al lado opuesto, pero aquí tenemos que demostrar lo contrario.

Answer 1

Sea el pentágono ABCDE etiquetado en el sentido de las agujas del reloj con C en la parte superior.

La forma más sencilla es demostrar primero que siempre que se dobla la tira, la región superpuesta es un triángulo isósceles. (Por lo tanto, AD = AC = EC = EB. Eso implica ABC = BCD = CDE por una fácil búsqueda de ángulos (o volviendo a la propiedad del pliegue), lo que implica AB = CD y BC = DE. Por lo tanto ABC CDE, y por lo tanto ACE = DEC = BCA. Simétricamente, ACE = ECD. Por tanto, ABC y CDE son isósceles, por lo que AB = BC = CD = DE. Queda por observar que ACE = BCA = DAC, y por tanto ACE DAC, lo que da la igualdad del quinto lado AE = DC. Por lo tanto BCD DEA EAB, dando las dos igualdades angulares finales necesarias BCD = DEA = EAB.

Por si quieres ver un diagrama: