Escribir $G/A\times G/B$ explícitamente como unión de órbitas

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finito, y sea $A$ y $B$ ser subgrupos. Me interesa $G/A\times G/B$ con su natural $G$ -Estructura de conjunto.

En $G/A\times G/B$ el estabilizador de cualquier elemento es $A\cap B$ por lo que, por el teorema del estabilizador de la órbita, hay una descomposición en órbitas como ésta: $$G/A\times G/B \cong \coprod (G/A\cap B)$$ Sin embargo, me gustaría hacer este isomorfismo de $G$ -conjuntos explícitos- es decir, quiero encontrar una elección natural de elementos $\{x_1,\ldots,x_k\}$ de $G/A\times G/B$ cuyas órbitas son las copias de $G/A\cap B$ : $$G/A\times G/B=Gx_1\sqcup \cdots \sqcup Gx_k,\quad\text{each }Gx_i\cong G/A\cap B\text{ as $ G $-sets}$$ Por ejemplo, supongamos que $G$ es cíclico. Digamos que $$G = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n-1}\},\quad A=a\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\quad B=b\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ Entonces es fácil ver que $$k=\frac{[G:A][G:B]}{[G:A\cap B]} = \frac{ab}{\mathrm{lcm}(a,b)}=\gcd(a,b)$$ y que (por el teorema chino del resto) una buena elección de representantes es $$x_1=(\overline{0}+A,\,\overline{0}+B)\;\;\ldots\;\;x_k=(\overline{0}+A,\,\overline{k-1}+B)$$ o bien, igual de bien, $$x_1=(\overline{0}+A,\,\overline{0}+B)\;\;\ldots\;\;x_k=(\overline{k-1}+A,\,\overline{0}+B)$$

Pero ahora si $G$ es un grupo abeliano finito arbitrario $G=\mathbb{Z}/p_1^{a_1}\mathbb{Z}\times \cdots\times\mathbb{Z}/p_r^{a_r}\mathbb{Z}$ ¿podemos encontrar una elección explícita similar de representantes?

He intentado generalizar el caso cíclico y no he conseguido nada. Agradecería alguna ayuda al respecto.

Answer 1

La hipótesis de conmutación es innecesaria. Sea $A\backslash G/B=\{AgB:g\in G\}$ sea el espacio de los cosets dobles. Existe un mapa $G/A\times G/B\to A\backslash G/B$ dado por $(aA,bB)\mapsto Aa^{-1}bB$ . Las fibras de este mapa son precisamente las $G$ -orbitas de $G/A\times G/B$ . Dejar $T$ sea cualquier sistema de $A$ - $B$ representantes del doble coset, los elementos $(t^{-1}A,B)$ o bien los elementos $(A,tB)$ formar un sistema de representantes correspondiente para el $G$ -orbitas en $G/A\times G/B$ . No existe un conjunto canónico de repeticiones para el espacio del doble coset, como tampoco lo hay para un espacio del coset de un solo lado $G/H$ .