Grupos estables de homotopía de $QX$

Question

Si $X$ es un espacio, podemos formar $QX=\varinjlim \Omega^n\Sigma^nX$ que es un espacio de bucle infinito con grupos de homotopía $\pi_i(QX)=\pi^{s}_i(X)$ los grupos homotópicos estables de $X.$ Pero estos son los inestable grupos de homotopía de $QX.$

Q: ¿Existe alguna expresión similar para el estable grupos de homotopía de $QX$ ?

Sólo para tener alguna sensación, Ya me gustaría saber qué $\pi_0^s(QS^0)$ es . Si lo he entendido bien, debería ser lo mismo que $\pi_0^s(B\Sigma_\infty^+),$ pero aún no sé cómo calcularlo.

Supongo $\pi_i^s(QX)$ parece una especie de "grupo homotópico estable secundario" de $X$ . Pero no hay por qué detenerse ahí. ¿Qué le parecen los grupos $\pi_i(Q^nX)$ que debería ser " $n$ -grupos homotópicos estables" de $X$ - ¿qué tipo de información transportan?

Por supuesto entonces podríamos empezar a formar otros objetos muy tontos como sobre algún tipo de estabilizaciones $\pi_{i+n}(Q^nX)$ como $n\to\infty$ (¿eso tiene sentido y/o produce algo sensato?) y así sucesivamente, pero en ese punto estoy tan enterrado en cosas que no entiendo que es un poco inútil.

Answer 1

La "división de Snaith" da el siguiente enunciado de nivel de espectro: para un espacio conexo apuntado $X$ existe una equivalencia débil: $$ \Sigma^\infty_+ (\Omega^\infty \Sigma^\infty X) \simeq \bigvee_{n \geq 0} \Sigma^\infty (X^{\wedge n})_{h\Sigma_n} $$ También existe una versión sin base: $$ \Sigma^\infty (\Omega^\infty \Sigma^\infty X) \simeq \bigvee_{n \geq 1} \Sigma^\infty (X^{\wedge n})_{h\Sigma_n} $$ Esto da un isomorfismo a nivel de grupos homotópicos estables: $$ \pi_*^{s}((QX)_+) = \pi_*(\Sigma^\infty_+ \Omega^\infty \Sigma^\infty X) \cong \bigoplus_{n \geq 0} \pi_*^s((X^{\wedge n})_{h\Sigma_n}) $$

Cuando el espacio $X$ no está conectada, hay que añadir un complemento de grupo para obtener el enunciado correcto. El efecto neto es que en $\pi_0$ obtenemos un isomorfismo entre $\pi_0^s((QX)_+)$ y el álgebra de grupo sobre el grupo abeliano libre sobre $\pi_0(X)$ está generado libremente como anillo conmutativo por generadores procedentes de $\pi_0(X)$ y sus inversos. En el caso de $QS^0$ se convierte en el anillo polinómico de Laurent $\Bbb Z[t^{\pm 1}]$ .