Presentación del grupo fundamental de una variedad menos algunos puntos

Question

Hace poco me di cuenta de algunas cosas en algunas preguntas recientes sobre MO:

1) el grupo fundamental de $S^2$ menos, digamos, 4 puntos, es $\langle a,b,c,d\ |\ abcd=1\rangle$ .

2) El grupo fundamental de un toro menos un punto es $\langle a,b,c\ |\ [a,b]c=1\rangle$ .

Me preguntaba si tienes un colector $M$ y se conoce una presentación de su grupo fundamental, ¿se puede obtener rápidamente una presentación del grupo fundamental de $M$ menos $n$ ¿puntos?

Por supuesto, podría tratarse de una mera coincidencia. Ambas son superficies y sus grupos fundamentales sólo tienen una relación. Pero, ¿quizá haya algo más?

Se agradecen todos los comentarios útiles,

Steve

Answer 1

La herramienta básica es el teorema de Van Kampen. Sea $M$ sea el colector, y sea $M' = M\setminus {x}.$ Sea $D$ ser una pequeña bola alrededor de $x$ . Entonces $M = M' \cup D,$ y $M \cap D = D\setminus {x}$ es homotópica a $S^{n-1}$ (aquí $n$ es la dimensión de $M$ ).

Así que el teorema de Van Kampen dice que $\pi_1(M) = \pi_1(M')*_{\pi_1(S^{n-1})} \pi_1(D)$ . Si $n > 2,$ entonces $S^{n-1}$ es simplemente conectado, y por supuesto $\pi_1(D)$ está simplemente conectada, por lo que se reduce a $\pi_1(M) = \pi_1(M')$ En otras palabras, la supresión de puntos no cambia nada. $\pi_1$ en dimensiones $> 2$ . (Probablemente puedas convencerte de ello directamente: imagina que tienes un bucle contrayéndose en un espacio tridimensional; entonces, si eliminas un punto, siempre puedes perturbar ligeramente la contracción para que no llegue al punto. Por supuesto, este no es el caso en dos dimensiones).

Si $n = 2$ entonces $\pi_1(S^1) = \mathbb Z$ es cíclico infinito, mientras que $\pi_1(D)$ es trivial otra vez. Así que vemos que $\pi_1(M)$ se obtiene a partir de $\pi_1(M')$ matando un bucle. Se puede ser más preciso, por supuesto (y me limitaré al caso orientable, para facilitar las cosas): si se tiene un género $g$ superficie, con $r>0$ pinchazos, y también $g + r > 1$ entonces $\pi_1$ es un grupo libre en $2 g + r - 1$ generadores. (Cada punción después de la primera añade otro bucle independiente, a saber, el bucle alrededor de esa punción). Si $g \geq 1,$ y $r = 0$ entonces $\pi_1$ se obtiene vía Van Kampen como arriba: se comienza con un grupo libre en $2g$ generadores para $M'$ y luego eliminas el bucle alrededor del pinchazo al rellenarlo (así se obtiene la presentación estándar para el $\pi_1$ de una superficie orientable compacta de género $g \geq 1$ ). (A la inversa, pasando de la superficie compacta $M$ a la superficie una vez perforada $M'$ no añade ningún generador a $\pi_1$ pero se deshace de una relación). Si $g = 0$ y $r \leq 1,$ entonces tiene un disco ( $r = 1$ ) o una esfera ( $r = 0$ ) y así $\pi_1$ es trivial.