Construcción de funciones continuas en puntos dados

Question

De acuerdo. Esta pregunta puede parecer muy fácil, pero en realidad estoy muy necesitado de una respuesta. He estado enfrentando problemas en la construcción de funciones, que sólo son continuas en algunos conjuntos particulares.

Por ejemplo, el ejemplo estándar de una función que sólo es continua en un punto, es la función, $f(x) = x, \ x \in \mathbb{Q}$ y $f(x) = -x, x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ . Del mismo modo, me gustaría saber cómo construir una función que es:

• Continuo a exactamente $2,3,4$ puntos.

• Continuo exactamente en enteros

• Continuo exactamente en Números naturales

• Continuo exactamente en Rationals.

Me gustaría ver muchos ejemplos (¡con pruebas!), para no tener problemas cuando alguien me pida que construya esas funciones.

Answer 1

1. Una forma sencilla de construir una función que sea continua sólo en un número finito de puntos, $x=a_1,\ldots,a_n$ es hacer una ligera modificación a la función que das: toma un polinomio $p(x)$ que tiene raíces exactamente en $x=a_1,\ldots,a_n$ (por ejemplo $p(x) = (x-a_1)\cdots(x-a_n)$ ) y, a continuación, defina $$ g(x) = \left\{\begin{array}{ll} p(x) & \text{if $x\in\mathbb{Q}$;}\\ 0 & \text{if $x\notin\mathbb{Q}$.} \end{array}\right.$$ La función es continua en $a_1,\ldots,a_n$ y puesto que $p(x)\neq 0$ para cualquier $x\notin\{a_1,\ldots,a_n\}$ entonces $g(x)$ no es continua en ningún punto que no sean $a_1,\ldots,a_n$ . Es fácil que surjan otras posibilidades.

2. Una función que es continua exactamente en los números enteros: una idea similar funcionará: encuentre una función que tenga ceros exactamente en los números enteros, por ejemplo $f(x)=\sin(\pi x)$ y luego tomar $$g(x) = \left\{\begin{array}{ll} \sin(\pi x) & \text{if $x\in\mathbb{Q}$;}\\ 0 & \text{if $x\notin\mathbb{Q}$.} \end{array}\right.$$

3. Una función continua exactamente en los números naturales: tome una función que sea continua en los números enteros, y redefínala como la función característica de los racionales en los lugares apropiados(lo que ocurre en $0$ depende de si usted cree $0$ está en los números naturales o no). Suponiendo que $0\in\mathbb{N}$ una posibilidad es: $$g(x) = \left\{\begin{array}{ll} \sin(\pi x)&\text{if $x\in\mathbb{Q}$ and $x\geq 0$;}\\ x & \text{if $x\in\mathbb{Q}$ and $-\frac{1}{2}\lt x\leq 0$;}\\ 1 & \text{if $x\in\mathbb{Q}$ and $x\leq -\frac{1}{2}$;}\\ 0 & \text{if $x\notin\mathbb{Q}$.} \end{array}\right.$$

4. Una función continua exactamente en los racionales. Esto es un poco más complicado. No existe tal función. Esto se debe a que el conjunto de discontinuidades de una función de valor real debe ser una unión contable de conjuntos cerrados.

   Quizá entonces podamos anticiparnos a la siguiente pregunta:

5. Una función que es continua exactamente en los irracionales. Un ejemplo es el siguiente: sea $s\colon\mathbb{N}\to\mathbb{Q}$ sea una enumeración de los racionales (es decir, una biyección de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Q}$ . Defina $f(x)$ como sigue: $$f(x) = \sum_{\stackrel{n\in\mathbb{N}}{s_n\leq x}} \frac{1}{2^n}.$$ La función tiene un salto en cada racional, por lo que no es continua en ningún racional. Sin embargo, si $x$ es irracional, sea $\epsilon\gt 0$ . Entonces existe $N$ tal que $\sum_{k\geq N}\frac{1}{2^k}\lt \epsilon$ . Encontrar un barrio de $x$ que excluye todo $q_m$ con $m\leq N$ y concluir que la diferencia entre el valor de $f$ en $x$ y en cualquier punto de la vecindad es como máximo $\sum_{k\geq N}\frac{1}{2^k}$ .

   Edita: Como me ha recordado jake en los comentarios, de hecho el "ejemplo estándar" de una función que es continua en todo racional y discontinua en todo racional es Función de Thomae . El ejemplo que pongo es una función monótona, y aunque es discontinua en todo racional, es continua desde la derecha en cada número.

Answer 2

Continuo en 2, 3, 4: $f(x)=(x-2)(x-3)(x-4)$ si $x$ es racional, $f(x)=0$ si $x$ es irracional.

Continuo en los números enteros: $f(x)=\sin(\pi x)$ si $x$ es racional, 0 si $x$ es irracional.

Continuo en los números naturales: $f(x)=\sin(\pi x)$ si $x$ es racional y no un número entero no positivo, 0 si $x$ es irracional, 1 si $x$ es un número entero no positivo.

Continua exactamente en los racionales: Imposible, porque el conjunto de los números racionales no es un $G_\delta$ .