¿Cuáles son las afirmaciones precisas de Shouryya Ray sobre los problemas de dinámica de partículas planteados por Newton que, según este artículo, se han resuelto?

Question

Este artículo reciente ( aquí está el original, en alemán ) dice que

Shouryya Ray, que se trasladó a Alemania desde la India con su familia a los 12 años, ha desconcertado a científicos y matemáticos al resolver dos problemas fundamentales de dinámica de partículas planteados por Sir Isaac Newton hace más de 350 años, informó el lunes el diario Die Welt.

Las soluciones de Ray permiten ahora calcular no sólo la trayectoria de vuelo de una pelota, sino también predecir cómo chocará y rebotará contra una pared. Hasta ahora, sólo era posible hacer estimaciones por ordenador.

¿Qué problemas plantea esta descripción? ¿Cuál es su formulación exacta? Además, ¿hay algún sitio donde pueda leer los detalles de las soluciones propuestas por esta persona?

Answer 1

Este hilo (physicsforums.com) contiene una enlace al cartel de Shouryya Ray en el que presenta sus resultados.

Así pues, el problema consiste en encontrar la trayectoria de una partícula bajo la influencia de la gravedad y la resistencia cuadrática del aire. Las ecuaciones gobernantes, tal como aparecen en el cartel:

$$ \dot u(t) + \alpha u(t) \sqrt{u(t)^2+v(t)^2} = 0 \\ \dot v(t) + \alpha v(t) \sqrt{u(t)^2 + v(t)^2} = -g\text, $$

sujeta a condiciones iniciales $v(0) = v_0 > 0$ y $u(0) = u_0 \neq 0$ .

Así (se deduce fácilmente), en su notación, $u(t)$ es la velocidad horizontal, $v(t)$ es la velocidad vertical, $g$ es la aceleración gravitatoria, y $\alpha$ es un coeficiente de resistencia.

A continuación, escribe las soluciones

$$ u(t) = \frac{u_0}{1 + \alpha V_0 t - \tfrac{1}{2!}\alpha gt^2 \sin \theta + \tfrac{1}{3!}\left(\alpha g^2 V_0 \cos^2 \theta - \alpha^2 g V_0 \sin \theta\right) t^3 + \cdots} \\ v(t) = \frac{v_0 - g\left[t + \tfrac{1}{2!} \alpha V_0 t^2 - \tfrac{1}{3!} \alpha gt^3 \sin \theta + \tfrac{1}{4!}\left(\alpha g^2 V_0 \cos^2 \theta - \alpha^2 g V_0 \sin \theta\right)t^4 + \cdots\right]}{1 + \alpha V_0 t - \tfrac{1}{2!}\alpha gt^2 \sin \theta + \tfrac{1}{3!}\left(\alpha g^2 V_0 \cos^2 \theta - \alpha^2 g V_0 \sin \theta\right) t^3 + \cdots}\text.$$

En el diagrama que aparece bajo la foto de Newton, se ve que $V_0$ es la velocidad inicial, y $\theta$ es el ángulo de elevación inicial.

El cartel (o al menos la parte que se ve) no da detalles sobre la derivación de la solución. Pero se pueden ver algunas cosas:

• Utiliza, justo al principio, la sustitución $\psi(t) = u(t)/v(t)$ .

• Hay una sección llamada "...öße der Bewegung". La primera palabra está oscurecida, pero una suposición cualificada sería "Erhaltungsgröße der Bewegung", que se traduciría como "cantidad conservada del movimiento". Aquí aparece la cantidad conservada descrita por David Zaslavsky, salvo algunas cuestiones de signo.

• Sin embargo, esta sección parece ser una subsección de la sección más grande "Aus der Lösung ablesbare Eigenschaften", o "Propiedades que se pueden ver desde la solución". Eso parece implicar que la solución implica la ley de conservación, en lugar de que la solución se derive de la ley de conservación. El texto de esa sección probablemente proporcione alguna pista, pero sólo es visible en parte y, bueno, mi alemán está oxidado. Invito a alguien más a tratar de encontrarle sentido.

• También forman parte de la sección mayor las subsecciones en las que deduce de su solución (a) la trayectoria para proyectiles clásicos sin arrastre, (b) cierta "Lamb-Näherung", o "aproximación de Lamb".

• La siguiente sección se titula "Verallgemeneirungen", o "Generalizaciones". Aquí parece considerar otros dos problemas, con arrastres de la forma $\alpha V^2 + \beta$ en presencia de viento horizontal dependiente de la altitud. No estoy seguro de cuáles son los resultados aquí.

• Los diagramas de la izquierda parecen demostrar la precisión y convergencia de su solución en serie comparándolas con Runge-Kutta. Aunque el texto está algo borroso y, de nuevo, mi alemán está oxidado, así que no estoy muy seguro.

• He aquí una traducción aproximada de la primera parte del "Zusammanfassung und Ausblick" (Resumen y perspectiva), con las debidas advertencias sobre su exactitud:

• Por primera vez, una solución totalmente analítica de un problema sin resolver desde hace tiempo
• Varias propiedades excelentes; en particular, cantidad conservada $\Rightarrow$ fundamental [...] extracción de nuevos y profundos conocimientos utilizando las soluciones analíticas completas (sobre todo [...] se obtendrán perspectivas y aproximaciones)
• Convergencia de la solución demostrada numéricamente
• Esquema de solución para dos generalizaciones

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EDIT: Dos profesores de la TU Dresden, que han visto el trabajo del Sr. Ray, han escrito algunos comentarios:

Comentarios sobre algunos trabajos recientes de Shouryya Ray

Allí se exponen sin ambigüedades las cuestiones que resolvió, así que eso debería responder a cualquier pregunta pendiente.

EDIT2: Debo añadir: No dudo de que Shouryya Ray sea un joven muy inteligente. La solución que dio puede, quizás, obtenerse utilizando métodos estándar. Sin embargo, creo que descubrió la solución sin saber que los métodos eran estándar, un logro muy notable. Espero que este suceso no le haya desanimado; sin duda, algún día será un físico o matemático de éxito, si elige ese camino.

Answer 2

De hecho, es bastante difícil encontrar información sobre por qué exactamente este proyecto ha atraído tanta atención. Lo que he reunido a partir de los comentarios en varios sitios web y algunas imágenes (principalmente éste ) es que Shouryya Ray descubrió la siguiente constante de movimiento para el movimiento de proyectiles con arrastre cuadrático:

$$\frac{g^2}{2v_x^2} + \frac{\alpha g}{2}\left(\frac{v_y\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}{v_x^2} + \sinh^{-1}\biggl|\frac{v_y}{v_x}\biggr|\right) = \text{const.}$$

Esto se aplica a una partícula sometida a una fuerza de arrastre cuadrática,

$$\vec{F}_d = -m\alpha v\vec{v}$$

Se comprueba fácilmente que la constante es constante tomando la derivada temporal e introduciendo las ecuaciones de movimiento

$$\begin{align}\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} &= -\alpha v_x\sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\ \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} &= -\alpha v_y\sqrt{v_x^2 + v_y^2} - g\end{align}$$

La opinión predominante es que esto no se sabía antes, aunque algunas personas afirman haberlo visto en libros de texto antiguos (aunque nunca con una referencia, así que tómenlo como lo que quieran).

No he oído nada concreto sobre cómo podría ponerse en práctica, aunque quizá eso forme parte de los detalles técnicos del proyecto. Ya es posible calcular trayectorias balísticas con arrastre con gran precisión mediante métodos numéricos, y la presencia de esta constante no conduce directamente a un nuevo método de cálculo de trayectorias, que yo sepa.

Answer 3

I) Aquí nos gustaría dar un Formulación hamiltoniana de una partícula puntual en un campo gravitatorio constante con resistencia cuadrática del aire

$$\tag{1} \dot{u}~=~ -\alpha u \sqrt{u^2+v^2}, \qquad \dot{v}~=~ -\alpha v \sqrt{u^2+v^2} -g. $$

En $u$ y $v$ son la velocidad horizontal y vertical, respectivamente. Un punto en la parte superior indica la diferenciación con respecto al tiempo $t$ . Las dos constantes positivas $\alpha>0$ y $g>0$ se puede poner a uno escalando las tres variables

$$\tag{2} t'~=~\sqrt{\alpha g}t, \qquad u'~=~\sqrt{\frac{\alpha}{g}}u, \qquad v'~=~\sqrt{\frac{\alpha}{g}}v. $$

Véase, por ejemplo, la Ref. [1] para una introducción general a las formulaciones hamiltonianas y lagrangianas.

II) Definir dos variables canónicas ( generalizado posición y momento) como

$$\tag{3} q~:=~ -\frac{v}{|u|}, \qquad p~:=~ \frac{1}{|u|}~>~0.$$

(La posición $q$ es (hasta signos) Shouryya Ray 's $\psi$ y el impulso $p$ es (hasta un factor multiplicativo) Shouryya Ray 's $\dot{\Psi}$ variable. Suponemos que $^\dagger$ para simplificar que $u\neq 0$ .) Entonces las ecuaciones de movimiento (1) se convierten en

$$\tag{4a} \dot{q}~=~ gp, $$ $$\tag{4b} \dot{p}~=~ \alpha \sqrt{1+q^2}. $$

III) La ecuación (4a) sugiere que debemos identificar $\frac{1}{g}$ con una masa

$$\tag{5} m~:=~ \frac{1}{g}, $$

de modo que tenemos la expresión estándar

$$\tag{6} p~=~m\dot{q}$$

para el momento de una partícula puntual no relativista. Definamos además la energía cinética

$$\tag{7} T~:=~\frac{p^2}{2m}~=~ \frac{gp^2}{2}. $$

IV) La ecuación (4b) y la segunda ley de Newton sugieren que deberíamos definir una fuerza de Hooke modificada

$$\tag{8} F(q)~:=~ \alpha \sqrt{1+q^2}~=~-V^{\prime}(q), $$

con potencial dado por (menos) la antiderivada

$$ V(q)~:=~ - \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + {\rm arsinh}(q)\right) $$ $$\tag{9} ~=~ - \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + \ln(q+\sqrt{1+q^2})\right). $$

Obsérvese que esto corresponde a una situación inestable porque la fuerza $F(-q)~=~F(q)$ es una función par, mientras que el potencial $V(-q) = - V(q)$ es una función impar monótona de la posición $q$ .

Resulta tentador definir una variable angular $\theta$ como

$$\tag{10} q~=~\tan\theta, $$

de modo que la fuerza y el potencial correspondientes son

$$\tag{11} F~=~\frac{\alpha}{\cos\theta} , \qquad V~=~- \frac{\alpha}{2} \left(\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} + \ln\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right). $$

V) El Hamiltoniano es el total energía mecánica

$$ H(q,p)~:=~T+V(q)~=~\frac{gp^2}{2}- \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + {\rm arsinh}(q)\right) $$ $$\tag{12}~=~\frac{g}{2u^2} +\frac{\alpha}{2} \left( \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{u^2} + {\rm arsinh}\frac{v}{|u|}\right). $$

Dado que el Hamiltoniano $H$ no contiene ninguna dependencia temporal explícita, la energía mecánica (12) se conserva en el tiempo, que es la primera integral de movimiento de Shouryya Ray.

$$\tag{13} \frac{dH}{dt}~=~ \frac{\partial H}{\partial t}~=~0. $$

VI) El Ecuaciones hamiltonianas de movimiento son las ecs. (4). Supongamos que sabemos $q(t_i)$ y $p(t_i)$ en algún instante inicial $t_i$ y nos gustaría encontrar $q(t_f)$ y $p(t_f)$ en algún instante final $t_f$ .

El Hamiltoniano $H$ es el generador de la evolución temporal. Si introducimos el tiempo igual canónico Soporte de Poisson

$$\tag{14} \{q(t_i),p(t_i)\}~=~1,$$

entonces (menos) el Campo vectorial hamiltoniano lee

$$\tag{15} -X_H~:=~-\{H(q(t_i),p(t_i)), \cdot\} ~=~ gp(t_i)\frac{\partial}{\partial q(t_i)} + F(q(t_i))\frac{\partial}{\partial p(t_i)}. $$

Para completar, mencionemos que en términos de las variables de velocidad originales, el corchete de Poisson dice

$$\tag{16} \{v(t_i),u(t_i)\}~=~u(t_i)^3.$$

Podemos escribir una solución formal para posición, momento y fuerza, como

$$ q(t_f) ~=~ e^{-\tau X_H}q(t_i) ~=~ q(t_i) - \tau X_H[q(t_i)] + \frac{\tau^2}{2}X_H[X_H[q(t_i)]]+\ldots \qquad $$ $$\tag{17a} ~=~ q(t_i) + \tau g p(t_i) + \frac{\tau^2}{2}g F(q(t_i)) +\frac{\tau^3}{6}g \frac{g\alpha^2p(t_i)q(t_i)}{F(q(t_i))} +\ldots ,\qquad $$ $$ p(t_f) ~=~ e^{-\tau X_H}p(t_i) ~=~ p(t_i) - \tau X_H[p(t_i)] + \frac{\tau^2}{2}X_H[X_H[p(t_i)]]+\ldots\qquad $$ $$ ~=~p(t_i) + \tau F(q(t_i)) +\frac{\tau^2}{2}\frac{g\alpha^2p(t_i)q(t_i)}{F(q(t_i))}$$ $$\tag{17b} + \frac{g\alpha^2\tau^3}{6} \left(q(t_i) + \frac{g\alpha^2 p(t_i)^2}{F(q(t_i))^3}\right) +\ldots ,\qquad $$ $$ F(q(t_f)) ~=~ e^{-\tau X_H}F(q(t_i)) $$ $$~=~ F(q(t_i)) - \tau X_H[F(q(t_i))] + \frac{\tau^2}{2}X_H[X_H[F(q(t_i))]] + \ldots\qquad $$ $$ \tag{17c}~=~ F(q(t_i)) + \tau \frac{g\alpha^2p(t_i)q(t_i)}{F(q(t_i))} +\frac{g(\alpha\tau)^2}{2}\left(q(t_i) +\frac{g\alpha^2 p(t_i)^2}{F(q(t_i))^3}\right) +\ldots ,\qquad $$

y calcular a cualquier orden en el tiempo $\tau:=t_f-t_i$ nos gustaría. (Como comprobación, obsérvese que si se diferencia (17a) con respecto al tiempo $\tau$ , se obtiene (17b) multiplicado por $g$ y si se diferencia (17b) con respecto al tiempo $\tau$ se obtiene (17c), cf. ec. (4)). De esta forma podemos obtener una expansión de Taylor en el tiempo $\tau$ de la forma

$$ \tag{18} F(q(t_f)) ~=~\alpha\sum_{n,k,\ell\in \mathbb{N}_0} \frac{c_{n,k,\ell}}{n!}\left(\tau\sqrt{\alpha g}\right)^n \left(p(t_i)\sqrt{\frac{g}{\alpha}}\right)^k \frac{q(t_i)^{\ell}}{(F(q(t_i))/\alpha)^{k+\ell-1}}. $$

Las constantes universales adimensionales $c_{n,k,\ell}=0$ son cero si $n+k$ o $\frac{n+k}{2}+\ell$ no son un número entero par. Tenemos una expresión cerrada

$$ F(q(t_f)) ~\approx~ \exp\left[\tau gp(t_i)\frac{\partial}{\partial q(t_i)}\right]F(q(t_i)) ~=~ F(q(t_i)+\tau g p(t_i)) $$ $$ \tag{19} \qquad \text{for} \qquad ~ p(t_i)~\gg~\frac{ F(q(t_i))}{\sqrt{\alpha g}}, $$

es decir, cuando podemos ignorar el segundo término del campo vectorial hamiltoniano (15).

VII) La correspondiente Lagrangiano es

$$\tag{20} L(q,\dot{q})~=~T-V(q)~=~\frac{\dot{q}^2}{2g}+ \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + {\rm arsinh}(q)\right) $$

con Ecuación lagrangiana de movimiento

$$\tag{21} \ddot{q}~=~ \alpha g \sqrt{1+q^2}. $$

Esto es esencialmente Shouryya Ray $\psi$ ecuación.

Referencias:

1. Herbert Goldstein, Mecánica clásica.

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$^\dagger$ Tenga en cuenta que si $u$ se hace cero en algún momento, se mantiene cero en el futuro, cf. ec.(1). Si $u\equiv 0$ idénticamente, entonces la ec.(1) se convierte en

$$\tag{22} -\dot{v} ~=~ \alpha v |v| + g. $$

La solución de la ec. (22) para valores negativos $v\leq 0$ es

$$\tag{23} v(t) ~=~ -\sqrt{\frac{g}{\alpha}} \tanh(\sqrt{\alpha g}(t-t_0)) , \qquad t~\geq~ t_0, $$

donde $t_0$ es una constante de integración. En general,

$$\tag{24} (u(t),v(t)) ~\to~ (0, -\sqrt{\frac{g}{\alpha}}) \qquad \text{for} \qquad t ~\to~ \infty ,$$

mientras que

$$\tag{25} (q(t),p(t)) ~\to~ (\infty,\infty) \qquad \text{for} \qquad t~\to~ \infty.$$

Answer 4

Las ecuaciones para este proyectil problema fueron formuladas por Jacob Bernoulli (1654-1705) y Gottfried Leibniz (1646-1716) desarrollado una solución técnica en 1696! El método se desarrolla una solución analítica para la velocidad y el ángulo de inclinación (o, equivalentemente, la horizontal y la vertical de las velocidades). Para obtener la horizontal y vertical de los desplazamientos y el tiempo por métodos analíticos a partir de estos resultados intermedios no ha sido un éxito desde entonces. Probablemente nunca lo hará. Sin embargo sencillas técnicas numéricas puede producir soluciones más eficientemente sin el uso de energía de la serie de la representación. Por ejemplo MATHEMATICA soluciona fácilmente las ecuaciones a partir de los resultados intermedios. Me sorprende que alguien de la militar de balística de la comunidad no se ha pronunciado o incluso la industria aeroespacial de los chicos. Esto debe ser muy elemental de ellos. Me topé con este tema, porque estoy leyendo un libro interesante por Neville De Mestre llamado "las Matemáticas de Los Proyectiles en el Deporte". Se los recomiendo. A pesar de que fue publicado en 1990 y es, probablemente, fuera de impresión puede estar disponible a través de AMAZON LIBROS.

Answer 5

Hoy he encontrado esto en arxiv.org Papel Shouryya Ray

Es el periódico oficial de Shouryya Ray:

Una solución analítica a las ecuaciones del movimiento de un punto masa con resistencia cuadrática y generalizaciones Shouryya Ray - Jochen Frohlich

¿por qué lo escribió dos años después de su solución original?