Resolución de una desigualdad exponencial

Question

$$(0{,}25)^{3-0{,}5x^2}\leq8$$

Las respuestas dadas son: $[-3;3]$

A continuación es donde llegué con esto, estoy bastante seguro de que tomé un enfoque equivocado aquí. Cualquier ayuda en absoluto es apreciada.

$$\begin{aligned} (0{,}25)^{3-0{,}5x^2} &\leq 32\,(0{,}25) \\ 3 &\leq 0{,}5\,x^2 \\ x &\geq 2{,}45 \end{aligned}$$

Answer 1

Las cifras $0.25$ y $8$ son ambas potencias "bonitas" de $2$ lo que permite un planteamiento sencillo.

El lado derecho es $2^3$ . Desde $0.25=2^{-2}$ el lado izquierdo es $(2^{-2})^{3-0.5x^2}$ que es $2^{x^2-6}$ .

Así que nuestra desigualdad se puede reescribir como $$2^{x^2-6} \le 2^3,$$ o, lo que es lo mismo, dividiendo ambos lados por $2^3$ como $$2^{x^2-9} \le 1.$$ Esta desigualdad se cumple precisamente si el exponente $x^2-9$ es $\le 0$ es decir, cuando $-3\le x\le 3$ .

Answer 2

Yo tomaría el logaritmo de la primera desigualdad : $$e^{(3-\frac{1}{2}x^2) \ln(\frac{1}{4})} \le 8$$ se convierte en $$ -(3-\frac{1}{2}x^2) \ln(4) \le \ln(8)$$ En $\ln(8) = \ln(2^3) = 3 \ln(2)$ y $\ln(4) = 2 \ln(2)$ tenemos : $$3 -\frac{1}{2}x^2 \ge -\frac{3}{2}$$ Conduce a $x^2 \le 9 $ .

Answer 3

Por favor, perdóname si utilizo un punto decimal en lugar de una coma decimal; me cuesta mucho utilizar la coma...

En primer lugar, no entiendo cómo has pasado de la primera a la segunda línea.

En segundo lugar, para pasar de la segunda a la tercera línea, parece que has dividido ambos lados por $0.5$ para obtener $6\leq x^2$ y luego intentaste sacar la raíz cuadrada. Por desgracia, parece haber olvidado que $\sqrt{x^2}=|x|$ no $x$ . por lo que realmente debería haber conseguido $\sqrt{6}\leq |x|$ que habría permitido $x\geq \sqrt{6}$ o $x\leq -\sqrt{6}$ .

Bien, vamos desde el principio. Primero, "bajemos" el exponente tomando logaritmos. Dado que el logaritmo es una función estrictamente creciente, $0\lt a\leq b$ se cumple si y sólo si $\ln(a)\leq \ln(b)$ retenciones. Así que $$\begin{align*} (0.25)^{3-0.5x^2} &\leq 8\\ (3-0.5x^2) \ln(0.25) &\leq \ln(8)\\ -0.5x^2\ln\left(\frac{1}{4}\right) &\leq \ln(8) -3\ln\left(\frac{1}{4}\right)\\ -0.5x^2(-\ln(4)) &\leq \ln(8) + 3\ln(4)\\ x^2\ln(2) &\leq 3\ln(2)+6\ln(2)\\ x^2\ln(2) &\leq 9\ln(2)\\ x^2 &\leq 9. \end{align*}$$ La última desigualdad porque $\ln(2)\gt 0$ por lo que dividiendo por $\ln(2)$ no afecta al signo de la desigualdad. Ahora podemos sacar raíces cuadradas en ambos lados y obtenemos $$|x|=\sqrt{x^2} \leq 3$$ y esto equivale a $-3\leq x\leq 3$ es decir, que el conjunto de soluciones sea $[-3,3]$ .