Estructura de $GL(n,\mathbb{C})$ mod $B$ (subgrupo de Borel)?

Question

Estructura de $GL(n,\mathbb{C})$ mod $B$ (subgrupo de Borel)?

En esta entrada: https://mathoverflow.net/questions/144287/a-question-about-flag-variety-of-sln-mathbbc habla de cómo $SL(n,\mathbb{C}) / B$ es una variedad bandera completa (B es un subgrupo Borel).

En realidad tengo 2 preguntas:

$1)$ Es $GL(n,\mathbb{C}) / B$ ¿también una variedad de bandera?

$2)$ ¿Y si hacemos el cociente por el subgrupo de todas las matrices triangulares superiores unipotentes?

Gracias, señor.

Answer 1

Para responder a su primera pregunta, casi sí, $GL_n/B$ sigue siendo la variedad bandera completa, sin embargo aquí elegimos que las Borel sean todas las matrices triangulares superiores invertibles (cuando tomamos $G = SL_n$ restringimos naturalmente a las que tienen determinante 1). Explícitamente, repitiendo un argumento que ya has visto, toma tu base favorita de $\mathbb{C}^n$ etiquetado $\{e_1, \dots, e_n\}$ . Considere la bandera estándar $$ \mathcal{F}_{std} = 0 \subset \langle e_1 \rangle \dots \langle e_1, \dots, e_{n-1} \rangle \subset \mathbb{C}^n.$$ Existe una acción natural de $GL_n$ en $\mathcal{F}_{std}$ y se puede comprobar que cualquier otra bandera completa se puede obtener de $\mathcal{F}_{std}$ actuando mediante un $g \in GL_n$ . En particular, $GL_n$ actúa transitivamente sobre la variedad bandera completa (es un espacio homogéneo), el estabilizador de la bandera estándar es $B$ (matrices triangulares superiores invertibles), por lo que existe una biyección $$ GL_n/B \leftrightarrow \{ \text{complete flags of } \mathbb{C}^n\}.$$

Repito este proceso aquí sólo para que estemos en la misma página - lo que verás es que las propiedades especiales/necesarias sobre $GL_n$ en esta construcción siguen siendo válidas para $SL_n$ . Restringir a matrices de determinante 1 no cambia lo anterior.

Ahora dejemos que $U$ sea el subgrupo de matrices unipotentes (por ejemplo en $G = GL_n$ , $U$ es el subgrupo máximo formado por todas las matrices triangulares superiores con 1s en la diagonal). Para responder de forma muy explícita a tu segunda pregunta, si especificamos $G = SL_2$ entonces existe un isomorfismo natural $G/U \cong \mathbb{C}^2\setminus \{0\}$ : esto se debe a que el estabilizador del vector $(1, 0)^T$ es exactamente $U$ . Para $G = GL_2$ el cociente $G/U$ es (no canónicamente) isomorfo al producto de este espacio anterior por $\mathbb{C}^\times$ .

En general $G$ se puede saber/ver que el subgrupo Borel $B$ es el producto (semidirecto) de un toroide maximal $T$ (por ejemplo, el subgrupo de matrices diagonales) con el subgrupo (normal) $U$ . Así $G/B$ tiene una descripción natural como cociente de $G/U$ por la acción de $T$ . Ya que hemos visto que $G/B$ es la variedad bandera completa, entonces tomando clases de equivalencia de banderas por esta $T$ -acción da el llamado espacios cónicos : $G/U$ puede realizarse como el cono de la variedad bandera completa. Este post de MO probablemente tiene algunas respuestas que podrían dar algunos cálculos explícitos, si usted quisiera eso también.

También pueden interesarle cosas relacionadas con $U$ que no se obtienen exactamente tomando el cociente $G/U$ - Las palabras clave son las células de Schubert, las variedades de Schubert y la descomposición de Bruhat, pero es probable que esto quede fuera del ámbito de lo que estás buscando. También hay algunos artículos muy conocidos de Spaltenstein publicados en los años 70 (76 y 77 si no recuerdo mal) que tratan de la acción de elementos unipotentes sobre la variedad bandera, dando las llamadas fibras de Springer.