Nuevo en series infinitas. ¿Cómo evaluar ésta?

Question

$a+2a^2+3a^3+4a^4...$ cuando $a = \frac{1}{8}$ . Hoy he visto esta pregunta y no tengo ni idea de por dónde empezar. ¿Alguna idea?

Answer 1

pista

$$S=a+2a^2+3a^3+...$$$$=a(1+2a+3a^2+...)$$

$$=a\Bigl(\frac{d}{dx}[x+x^2+x^3+...]\Bigr)_{x=a}$$ $$=a\Bigl(\frac{d}{dx}[\frac{x}{1-x}]\Bigr)_{x=a}=\frac{a}{(1-a)^2}$$

Funciona porque $|a|<1$ .

Answer 2

Sea $$ S=a+2a^2+3a^3+\cdots$$ así que $$aS = a^2+2a^3+\cdots$$ Entonces $$S-aS = a + a^2+a^3+\cdots$$

Tu turno.

Answer 3

Nota $|a|<1$ ,

$$1+a+a^2+a^3+\>...=\frac1{1-a}$$

Toma derivadas de ambos lados,

$$1+2a+3a^2+\> … =\frac1{(1-a)^2}$$

Multiplique $a$ y evaluar en $a=\frac18$ ,

$$a+2a^2+3a^3+\>...=\frac a{(1-a)^2} = \frac {\frac18}{(1-\frac18)^2}=\frac8{49}$$

Answer 4

Si factorizamos un $a$ tenemos

$$S=a(1+2a+3a^2+\ldots)\\S=a\frac{d}{da}(a+a^2+a^3+\ldots)$$

Ahora, examinemos

$$S'=a+a^2+a^3+\ldots$$

$$aS'=a^2+a^3+\ldots=S'-a$$

Esto converge (obviamente) sólo para $|a|<1$ pero creo que a partir de aquí tienes las herramientas necesarias para completar la pregunta. No soy un experto en sumas infinitas, pero dos trucos que te pueden servir son

1. Asignar un lado izquierdo (aquí he utilizado $S$ o $S'$ ), y ver si se puede convertir la parte derecha de la suma en una combinación lineal finita de potencias de $a$ y $S$ .
2. Intenta identificar sumas que conozcas en el lado derecho, o sumas que al menos puedas averiguar utilizando el primer truco.