dividir un círculo desplazado en triángulos

Question

En primer lugar, disculpe si no es el foro adecuado o si se trata de una pregunta trivial. No soy un matemático ni un genio de la trigonometría - y por lo tanto me gustaría pedir una respuesta simple que alguien como yo podría entender (y no sólo las fórmulas de fantasía, si es posible)

Dando un círculo de radio conocido ( $r$ ) y otro círculo con un desplazamiento de ( $t$ ) Me gustaría llenar el "vacío" ( $t$ ) con triángulos no superpuestos con el ángulo más próximo posible a $45^\circ$ .

• 1 - ¿Cómo puedo saber cuántos triángulos entrarán en el espacio?
• 2 - ¿Cómo puedo calcular sus ángulos exactos (a) (b) ?
• 3 - suponiendo que quiero un ángulo EXACTO de (b) = $90^\circ$ (y no aproximación) - ¿cómo puedo saber el número de triángulos y también calcular el "sobrante"?

ACTUALIZACIÓN I: según comentario : un ejemplo visual del resultado deseado.

Answer 1

En esta figura :

Lo que quieres es tener $c$ = $r_2 - d$ . Esto nos lleva a la ecuación $\frac{r_2}{r_1} = \cos{\theta} + \sin{\theta}$ . Suponemos que $\theta > 0$ .

Utiliza las fórmulas trigonométricas para convertir el coseno y el seno en funciones de $t = \tan{\frac{\theta}{2}}$ y esto nos da t como la raíz de un grado $2$ polinomio : $$ \begin{aligned} \frac{1+2t-t^2}{1+t^2} &= \frac{r_2}{r_1} \\ - \left(1+\frac{r_2}{r_1}\right)t^2 +2t +\left(1-\frac{r_2}{r_1}\right) &= 0\\ \end{aligned} $$

Resolviendo esto se obtiene $$ \begin{aligned} \Delta &= 4\left(2-\frac{r_2^2}{r_1^2}\right)\\ t &= \frac{ 1\pm \sqrt{2-\frac{r_2^2}{r_1^2}} }{ \left(1+\frac{r_2}{r_1}\right) } \end {aligned} $$ y asumimos $\theta$ positivo.

Utilizando $\arctan$ y redondeando para encontrar el mejor entero $k$ (ya que el número de muestras es integral) tal que $\theta = \frac{\pi}{k}$ debería darte el ángulo $\theta$ a utilizar como la mitad de la frecuencia de muestreo para ambos círculos. A continuación, ambos círculos deben muestrearse utilizando el doble de esta frecuencia angular, pero desplazados entre sí con un ángulo $\theta$ .