demostrando que $\int_{\gamma}f(z)dz=0$ para cada curva cerrada $\gamma$

Question

Sea $f\in Hol(\mathbb{C}\setminus \left \{ 1 \right \})$ y supongamos $\int_{\left \{ |z|=4 \right \}}f(z)dz=0$ .
Demostrar que para toda curva cerrada y suave a trozos $\gamma$ que no pasa por $1$ , $$\int_{\gamma}f(z)dz=0$$

Puedo demostrar fácilmente que esta integral es de hecho $0$ para cada simple utilizando el teorema de Cauchy. Pero ningún resultado que se me ocurra generaliza eso a cualquier curva cerrada porque el plano puntuado no es un conjunto convexo.

Pensé en demostrar que cualquier curva cerrada suave a trozos es una unión finita de curvas cerradas simples suaves a trozos, pero tal demostración parece tediosa.

Me encantaría escuchar ideas.

Answer 1

Tenemos

$$\int_{\gamma} f(z)\,dz = 0 \tag{$ \ast $}$$

para todos curvas cerradas suaves a trozos $\gamma$ en el ámbito de $f$ sólo si $f$ tiene una primitiva.

Si $f$ tiene una primitiva $F$ entonces tenemos

$$\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_a^b F'(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt = (F\circ \gamma)\Bigr\rvert_a^b = 0$$

para todas las curvas cerradas (suaves a trozos) $\gamma$ por el teorema fundamental del cálculo.

Por el contrario, si $(\ast)$ es válido para todos los $\gamma$ para cualquier $z_0$ en el ámbito de $f$ ,

$$F(w) := \int_{\gamma_w} f(z)\,dz\,,$$

donde $\gamma_w$ es cualquier curva suave a trozos de $z_0$ a $w$ en el ámbito de $f$ está bien definida y, por tanto, es una primitiva de $f$ .

Así que aquí nuestra tarea es demostrar que $f$ tiene una primitiva en $\mathbb{C}\setminus \{1\}$ . En el semiplano $\operatorname{Re} z > 1$ definimos

$$F_1(w) = \int_4^w f(z)\,dz\,,$$

donde la integral es sobre cualquier curva suave a trozos desde $4$ a $w$ en ese semiplano. En el semiplano $\operatorname{Im} z > 0$ definimos

$$F_2(w) = F_1(2+i) + \int_{2+i}^w f(z)\,dz\,,$$

en $\operatorname{Re} z < 1$ definimos

$$F_3(w) = F_2(i) + \int_i^w f(z)\,dz\,,$$

y en $\operatorname{Im} z < 0$ definimos

$$F_4(w) = F_3(0) + \int_0^w f(z)\,dz\,.$$

Todas las integrales son sobre curvas arbitrarias suaves a trozos que conectan los puntos indicados en el semiplano respectivo. Entonces, cada una de las $F_k$ es una primitiva de $f$ en el semiplano respectivo, y tenemos $F_2(2+i) = F_1(2+i)$ de donde $F_1$ y $F_2$ coinciden en la intersección de sus respectivos dominios. Del mismo modo, para $F_2$ y $F_3$ y para $F_3$ y $F_4$ . Queda por ver que $F_4$ y $F_1$ coinciden en la intersección de sus dominios, entonces se deduce que tenemos una primitiva global $F$ de $f$ definiendo $F(w) = F_k(w)$ si $w$ se encuentra en el semiplano donde $F_k$ se define.

Pero tenemos

\begin{align} 0 &= \int_{\lvert z\rvert = 4} f(z)\,dz \\ &= F_2(2\sqrt{2}(-1+i)) - F_2(2\sqrt{2}(1+i)) + F_3(2\sqrt{2}(-1-i)) - F_3(2\sqrt{2}(-1+i)) \\ &\quad + F_4(2\sqrt{2}(1-i)) - F_4(2\sqrt{2}(-1-i)) + F_1(2\sqrt{2}(1+i)) - F_1(2\sqrt{2}(1-i)) \\ &= F_4(2\sqrt{2}(1-i)) - F_1(2\sqrt{2}(1-i))\,, \end{align}

así que $F_4$ y $F_1$ coinciden en un punto de la intersección de sus dominios, y como esa intersección es conexa, coinciden en toda la intersección.