Matrices inversas y valores propios

Question

Yo estaba trabajando en este problema aquí abajo, pero parece que no sé una manera precisa o limpia para mostrar la prueba a esta pregunta a continuación. Yo tenía unas cuantas maneras de hacerlo, pero las declaraciones / operaciones fueron bastante vagamente utilizado. El problema es el siguiente:

Demuestra que ${\bf A}^{-1}$ existe si y sólo si los valores propios $ \lambda _i$ , $1 \leq i \leq n$ de $\bf{A}$ son todas distintas de cero, y entonces ${\bf A}^{-1}$ tiene los valores propios dados por $ \frac{1}{\lambda _i}$ , $1 \leq i \leq n$ .

Gracias.

Answer 1

Me gusta la forma polinómica característica, similar al enfoque de @Joseph. Polinomio característico dado por $\det(A-\lambda I)=f(\lambda)$ es un polinomio de grado $n$ . Por lo tanto, debe tener $n$ raíces (reales o complejas). Ahora bien, si $\lambda_k$ es un valor propio de $A$ entonces tenemos $\det(A-\lambda_k I)=0$ . Pero esto significa que $f(\lambda_k)=0$ lo que significa que $f$ se puede factorizar (según algún teorema polinómico) como:

$$f(\lambda)=(\lambda_k-\lambda)g(\lambda)$$

Dónde $g(\lambda)$ es un polinomio de grado $n-1$ (y también puede satisfacer $g(\lambda_k)=0$ ). Podemos continuar de esta manera, y obtenemos:

$$f(\lambda)=\prod_k(\lambda_k-\lambda)$$

Ahora $\det(A)=\det(A-0I)=f(0)=\prod_k\lambda_k$ . Y tenemos su si y solo si, así como la respuesta a la segunda parte de una sola vez.