¿Existe algo parecido a un colector en el campo de los campos p-ádicos o p-ádicos complejos?
Si es así, ¿existe una conexión con la geometría algebraica tan rica como en los reales?
Respuesta
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Sí, los hay. Una fuente para aprender sobre ellos es la segunda mitad del libro de Serre Álgebras de Lie y grupos de Lie y otro es el reciente libro de Peter Schneider $p$ -ádico Grupos de Lie que es muy agradable.
Se denominan localmente $p$ -o, en términos más generales, si $k$ es cualquier campo no arquimediano, localmente $k$ -manifestaciones analíticas. La definición es formalmente la misma que la de colector analítico real o complejo, pero se utiliza la palabra "local" porque, para campos no arquimedianos, las funciones dadas localmente por series de potencias no necesitan estar dadas globalmente por una serie de potencias. Esto contrasta con los espacios analíticos rígidos, que son más parecidos a los esquemas y tienen como anillos de coordenadas ciertas álgebras "afinoides" de series de potencias convergentes. Gran parte de la teoría de las variedades complejas se aplica a las variedades analíticas locales (como se aclara en el libro de Serre), aunque, por supuesto, hay algunas diferencias. Por ejemplo, las variedades analíticas locales paracompactas son "estrictamente paracompactas", lo que significa que cada cubierta abierta admite un refinamiento mediante aperturas disjuntas por pares. Pero se tienen versiones de los teoremas de la función inversa e implícita, de los haces tangentes, de las álgebras de Lie para las regiones analíticas locales. $k$ -grupos analíticos, etc. Las notas mencionadas en los comentarios tratan de diversas teorías de espacios analíticos no arquimedianos, que son algo más análogos a los espacios analíticos complejos en general.
Si $k$ es un campo no arquimediano y $X$ es una superficie lisa y separada $k$ -de tipo finito, entonces $X(k)$ el conjunto de $k$ -puntos racionales, tiene una canónica localmente $k$ -estructura analítica, y $X\rightsquigarrow X(k)$ es functorial en $X$ . Esto es lo mismo que para los regímenes de más de $\mathbf{C}$ . No sé a qué otras conexiones con la geometría algebraica te refieres.
