Demostrar que una integral es 0

Question

Sea $f : [1,\infty) \to \mathbb{R}$ sea tal que $f$ es Reimann integrable en $[1,a)$ $\forall a $ y $\int_1^\infty f(t)\mathrm{d}t$ converge absolutamente.

Demuestra que

$$\lim_{\alpha \to \infty } \int_1^\infty f(t)\sin(\alpha t)\mathrm{d}t = 0$$

Consideremos la integral $$I(a,\alpha) = \int_1^a f(t)e^{i\alpha t}\mathrm{dt}$$

Luego integrando por partes,

$$I = \left[\frac{f(t)e^{i\alpha t}}{i\alpha}\right]_1^a - \int_1^a \frac{e^{i\alpha t}}{i\alpha}f'(t)dt$$

Entonces $$|I| \le \left|\left[\frac{f(t)e^{i\alpha t}}{i\alpha}\right]_1^a\right|+\left|\int_1^a \frac{e^{i\alpha t}}{i\alpha}f'(t)dt\right|$$

$$\le \left|\frac{f(a)}{\alpha}\right| +\left|\frac{f(1)}{\alpha}\right| + \frac{1}{|\alpha|} \int_1^a |f'(t)|dt$$

$$\le \frac{1}{|\alpha|}\left[\cdots\right]$$

donde los términos entre paréntesis están acotados, por lo que $$\lim_{\alpha \to \infty} I(a,\alpha) = 0$$ lo que demuestra que $$\lim_{\alpha \to \infty } \int_1^\infty f(t)\sin(\alpha t)\mathrm{d}t = 0$$ y $$\lim_{\alpha \to \infty } \int_1^\infty f(t)\cos(\alpha t)\mathrm{d}t = 0$$

¿Es correcto?

Answer 1

El problema de este enfoque es que la derivada puede no existir. E incluso si existe, ésta puede no ser integrable.

Utilizando la convergencia de $\int_1^{+\infty}\left|f(t)\right|\mathrm dt$ basta con demostrar que para cualquier $R$ , $$\tag{*} \lim_{\alpha\to\infty}\int_1^Rf(t)\sin\left(\alpha t\right)\mathrm dt=0.$$
Para ello, fije un $\varepsilon$ . Existen dos funciones escalonadas $\varphi$ y $\Phi$ tal que para todo $t\in[1,R]$ , $\varphi(t)\leqslant f(t)\leqslant \Phi(t)$ y $\int_1^R\left(\Phi(t)-\varphi(t)\right)\mathrm dt\lt\varepsilon$ . De este modo, podemos demostrar (por la desigualdad del triángulo) que para todo $\alpha$ , $$\left|\int_1^R\Phi(t)\sin(\alpha t)\mathrm dt-\int_1^Rf(t)\sin(\alpha t)\mathrm dt\right|\lt\varepsilon.$$ Así pues, basta con demostrar (*) cuando $f$ es una función escalonada.