La intuición por el método de Frobenius

Question

Le estoy enseñando a un diferencial de las ecuaciones de la clase y ahora estoy con la esperanza de dar una razón para la serie de Frobenius método más allá de simplemente "supongo que estas soluciones". Ahora, para la ecuación de Euler $$t^n x^{(n)}(t) + a_{n - 1} t^{n - 1} x^{(n - 1)}(t) + \dots + a_0 x(t) = 0$$ hay una buena, fácil explicación de por qué las soluciones son de la forma $x(t) = t^r$ donde $r$ resuelve la ecuación indicial y repetido raíces son manejados por multiplicar por potencias de $\ln t$: acabo de hacer el cambio de variables $s = \ln t$ y compruebe que esto hace que $t^n x^{(n)}(t)$ constante-coeficiente de combinación lineal de las $x^{(k)}(s)$'s, y copiar las soluciones a un constante coeficiente lineal de la ecuación: $s^k e^{rs}$ , $k$ menos que la multiplicidad de $r$ como una raíz del polinomio característico, que resulta de aquí a ser exactamente el polinomio indicial.

Pero no hay una aparente generalización de esta analogía arbitraria de las ecuaciones diferenciales con regular de puntos singulares, $$t^n x^{(n)}(t) + a_{n - 1}(t) t^{n - 1} x^{(n - 1)}(t) + \dots + a_0(t) x(t) = 0,$$ con la $a_i(t)$ analítica en torno a $t = 0$. Usted puede hacer el mismo cambio de variables y hacer que la ecuación no-singular, pero se hará lo siguiente:

1. todavía tienen coeficientes de la variable;
2. incluso si usted tiene las soluciones de alimentación de la serie, la sustitución de $s = \ln t$ haría en serie en $\ln t$, lo cual no es deseable;
3. cuando dos raíces difieren en un entero, a continuación, una de las soluciones no son ni siquiera de la forma deseada;
4. cuando hay una raíz repetida, la segunda solución parece $$x_2(t) = x_1(t) \ln t + x^r v(t),$$ donde $v(t)$ es otra potencia de la serie, de todos modos, que no es lo que se consigue a partir de la modificación de las variables de una manera obvia. Ahora, es cierto que existe la siguiente relación entre el$x_1(t)$$v(t)$: $$x_1(t) = \sum_{i = 0}^\infty b_i(r) t^{n + r} \qquad v(t) = \sum_{i = 0}^\infty b_i'(r) t^{n + r}$$ donde podemos diferenciar los coeficientes con respecto a $r$, considerar de alguna manera como una variable continua.

Entonces, mi pregunta:

¿Hay alguna conexión, a través de una transformación, un cambio de variables, o la aproximación, la que produce el método de Frobenius, por analogía con los no-singular ecuaciones? Tal vez sólo cuando las raíces del polinomio indicial no se distinguen por números enteros?

Answer 1

¿Hay algún tipo de conexión [...] que produce el método de Frobenius, por analogía con los no-singular ecuaciones?

Cuando la solución de una ecuación diferencial por el poder de la serie, que asumir que su solución se puede expresar como una potencia de la serie (lo cual es bastante razonable suposición, ya que muchas funciones analíticas que puede ser expresado de esa manera). Se puede sustituir el poder de la serie en la ecuación y encontrar la expresión para los coeficientes.

Esto funciona muy bien cuando su variable con coeficientes de los derivados que son "agradable" de las funciones. Pero cuando ellos tienen algunas singularidades, hay un problema con ese enfoque: al sustituir el poder de la serie y simplificar, se llega a algo en las líneas de

$$(\mbox{some expression with n})\cdot a_n = 0$$

y usted encuentra que usted no puede hacer que la expresión entre paréntesis para ser $0$ para cualquier valor de $n$, lo que implica que el es $a_n$ el cual debe ser $0$. Pero esto nos da sólo un número finito de alimentación de la serie (es decir, un polinomio); o, lo que es peor, tiene todos los coeficientes iguales a cero, pero esto es sólo la solución trivial $y = 0$. Es correcto, pero no se mucho de nuestro interés.

La razón por la que no podemos obtener algunas buenas potencia de la serie, en este caso, es que nuestra suposición era incorrecta: qué es la matemática está tratando de decir aquí es que la solución de la función puede ser expresada por el simple poder de la serie cuando se tiene singularidades, porque entonces usted tiene algunas potencias negativas de $x$ (lo que significa que la división por $0$ al $x=0$), o incluso fracciones de poderes (raíces, que no tienen valores para algunos de los números) o real o complejo de poderes.

Introduzca el método de Frobenius.

Esto puede ser fácilmente fijado por asumir algo más: que nuestra potencia de la serie se multiplica por $x^r$ donde $r$ puede ser real o complejo exponente. Esta parte de la solución cuentas por el incumplimiento de los poderes naturales de $x$ en nuestra solución. Así tenemos el ansatz (solución de prueba):

$$y(x) = x^r \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$

que podemos reescribir más simple como:

$$y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^{r+n}$$

Al sustituir este juicio función en la ecuación se obtendría la ecuación indicial de la cual se puede determinar el valor de(s) de su exponente $r$.

Edit: he añadido las respuestas para sus preguntas de seguimiento para aclarar un poco más.

¿Por qué debería multiplicar por este extraño poder ayudar?

Como he dicho, algunas funciones no están "bien". Tienen singularidades (por ejemplo, las divisiones por cero, discontinuidades, etc.). Entonces, que no puede ser expresado como potencia simple de la serie, tales como

$$y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$

porque no tienen natural exponentes en sus poderes. Sus poderes pueden ser negativos (división), fracciones (de la raíz de la extracción), o incluso algunos reales o complejos exponentes. Así que tenemos que modificar nuestra alimentación de la serie para dar cuenta de esos "raros" de los exponentes. Lo hacemos sumando (o restando) alguna otra constante $r$ a (de) nuestro exponente $n$:

$$y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r}$$

A pesar de $n$ sólo podría ser algún número natural, $r$ ahora puede ser cualquier número (incluso un número complejo), y habría que determinar qué número es (a veces hay más de una respuesta para esa pregunta). Eso es lo que la ecuación indicial.

Pero antes de eso, vamos a notar algo: Después de sumar/restar $r$ a/a partir de la exponente, esto ya no es un estándar de alimentación de la serie (su exponente puede ahora ser no natural). Pero podemos usar las reglas de los exponentes para extraer esta $r$th poder de $x$

$$y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n x^r$$

y, a continuación, mueva fuera de la suma ya que este es un factor común de todas sus condiciones:

$$y = x^r \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$

y tenemos nuestra energía original de la serie de nuevo, pero se nota que es ahora multiplicado por algún poder de $x$. Y esta es la respuesta a tu pregunta ¿por qué tenemos que multiplicar el juicio de la serie por $x^r$.

Si la potencia de la serie debería ocurrir, hay alguna relación con la serie de soluciones para la constante de coeficiente de ecuaciones?

Sí que la hay. Constante-coeficiente de ecuaciones, la solución estaba en un formulario:

$$y = C_0 e^{r_1 x} + C_1 e^{r_2 x}$$

donde $r_x$ $r_y$ eran raíces de la "ecuación característica" (o "ecuación indicial"). Usted puede obtener la misma respuesta con el simple poder de la serie, ya que la constante coeficientes son "agradable" funciones (analítica). Te gustaría obtener un patrón en los coeficientes de la alimentación de la serie, con factoriales de allí, lo que indica que la función exponencial, y de hecho esta es la solución. Si usted tiene algún patrón de juego de habilidad, usted puede intentar restaurar la función original (exponencial en este caso) de la potencia de la serie. Estado allí, hecho eso, esto es perfectamente posible.

En el caso de la variable coeficiente de la ecuación como de Cauchy-Euler (o equidimensional) ecuación nos dice que la solución está en un formulario:

$$y = C_0 x^{r_1} + C_2 x^{r_2}$$

que no se parece a la exponenciales estamos familiarizados con los de la constante-coeficiente de ecuaciones. Pero tenga en cuenta que usted puede reescribir $x$$e^{\ln x}$, y cuando la sustitución de la solución patrón se obtendrá:

$$y = C_0 (e^{\ln x})^{r_1} + C_2 (e^{\ln x})^{r_2}$$

y usando las leyes de los exponentes vemos que:

$$y = C_0 e^{r_1 \ln x} + C_2 e^{r_2 \ln x}$$

y de esta forma puede parecer más familiarizados, ya que no es una suma de exponenciales de nuevo. Pero ahora vamos a utilizar logaritmos naturales de $x$ en lugar de $x$ directamente.

El ansatz enfoque es sin duda la motivación, pero no es intuitivo y tiene menos de satisfacciones más que aprender.

Así, la intuición es también algo que se aprende. Para que esto podría no ser intuitivo, pero al ganar experiencia y aprender algunos de los patrones, se comenzaría a notar en las ecuaciones cuando aparecen una y otra vez, y van a convertirse intuitivo para usted, a continuación,.

Estas preguntas no pueden ser respondidas por el ansatz, que los estudiantes siempre se interpreta como "adivinar y comprobar", que es una especie de es.

No es mucho "adivinando", es más bien una "conjetura", o "inteligente heurística". Usted no trate de adivinar apenas nada ─ utiliza lo que sabe de su conjetura. Por ejemplo, cuando usted tiene ecuación simple como esto:

$$y' = k y$$

usted puede pensar en estas líneas:
"Cuál es la función del $y$ es proporcional a su propio derivado?" No es sólo una función: la exponencial, $y = e^x$. Pero queremos una función que derivado será proporcional a esa función en una determinada proporción, una cierta constante de proporcionalidad, que es $k$. Si usted sabe que $\left(e^{kx}\right)' = k e^{kx}$, entonces usted puede adivinar la correcta solución de inmediato. Pero si no lo hace, usted puede dejar un poco de la constante "a determinar" en su solución de prueba, y la puso en la ecuación a ver qué va a suceder y lo que el valor de la constante se tiene de la ecuación para estar satisfechos.

Lo que ocurre es que la función exponencial resuelve cualquier ecuación diferencial lineal, y esto no es una coincidencia: La exponencial es la eigenfunction (o la función apropiada) de la diferenciación. Esto significa que cuando se aplica la diferenciación, de que va a salir intacto, pero a veces, multiplicado por una constante (el cual es un valor propio; en el caso anterior se $k$). Así que esto no es una "conjetura" cuando intenta utilizar exponencial por otros similares ecuaciones para ver si aún cabe. Si por algún motivo no se ajusta, pierdes nada: Matemáticas va a decirle que su suposición era incorrecta, y a veces se puede notar lo que necesita ser mejorado para obtener la respuesta correcta. Por ejemplo, usted necesita una cierta energía de $e^x$ ($e^{kx}$ como en nuestro ejemplo anterior). O es necesario multiplicar por $x$, o algún poder de ($x^r$ en nuestro ejemplo con Frobenius de la serie).

Lo mismo sucede con las variables coeficiente de ecuaciones, como de Cauchy-Euler, ecuación. Usted puede ver que hay un poder de $x$ a todos los derivados, y este poder de $x$ tiene el mismo grado que el orden de la derivada. Recordemos que cuando nos diferencian unas de alimentación de $x$, su exponente cae por 1 y se va como una constante multiplicador. Pero luego hay una variable coeficiente que es también un poder de $x$, por lo que multiplicando nuestro derivados por aumentar el poder de nuevo. Y dado que el grado de que el poder es el mismo que el orden de la derivada, lo que pasó en la diferenciación, se va a subir de nuevo al mismo nivel. Así que vamos a tener los mismos poderes de $x$ en todas partes (un factor común!), simplemente multiplica por algunas constantes, que siempre se puede ajustar en una manera de dar vuelta toda la ecuación a 0. Así que sustituyendo $x^n$ en la ecuación como a su juicio función no es tan mala idea en este caso. Y, como usted puede ver, usted puede deducir qué función va a trabajar de la forma de la ecuación, mediante la observación de lo que estos derivados se va a hacer con él, y ¿cómo se puede hacer toda la ecuación de cancelar.

Answer 2

Como nota, Ryan, es bastante razonable para tratar de funciones de energía para la ecuación de Euler. Ahora la ecuación general con puntos singulares regulares es una analítica de la deformación de la ecuación de Euler (cerca de cada uno de los puntos singulares), en la que sus coeficientes son funciones analíticas que, cuando se evalúa a 0, a darle una ecuación de Euler. Por lo tanto, es muy natural a buscar soluciones que son deformaciones de las soluciones de la ecuación de Euler. Eso es precisamente lo que el método de Frobenius.

Y funciona de maravillas. Por ejemplo, la ecuación indicial de la ecuación general es precisamente el mismo que el de la correspondiente ecuación de Euler, por lo que el comportamiento de las soluciones es cualitativamente el mismo que para la ecuación de Euler.