Después de leer esta pregunta empecé a preguntarme si era posible tener un conjunto delimitado conectado por trayectorias $S\subseteq\Bbb R^n$ (donde $n>1$ ) con un grupo de simetría contablemente infinito $G$ .
Si quita bounded, puede tomar $\left(\Bbb R\times\left\{0\right\}\right)\cup \left(\bigcup\limits_{k\in \Bbb N}\left\{k\right\}\times \Bbb R\right)$ es decir, un número contable de rectas paralelas unidas por otra recta perpendicular a todas ellas.
Si se quita path-connected, se puede tomar el conjunto generado por un punto y una rotación alrededor de otro punto con un ángulo $\alpha$ para que $\cfrac{\alpha}{\pi}\not\in \Bbb Q$ .
Si se desea un número finito de elementos, se puede tomar el conjunto generado por un punto y una rotación alrededor de otro punto con un ángulo $\alpha$ para que $\cfrac{\alpha}{\pi}\in \Bbb Q$ .
Si quieres un número incontable de elementos, puedes tomar un círculo o la bola unidad.
Realmente no tenía ni idea de cómo atacar este problema, así que intenté demostrar que no era posible así (en cursiva son las partes que no podría justificar o no podría entender):
Dado que tengo un número contable de simetrías, tengo un número contable de rotaciones o un número contable de simetrías ortogonales.
Si tengo incontables rotaciones, significa que tengo una rotación de ángulo $\alpha$ para que $\cfrac{\alpha}{\pi}\not\in \Bbb Q$ y así tengo subconjuntos densos de los círculos generados por los puntos en $S$ y esta rotación. Como está conectado por caminos, debe ser que todo el círculo está en $S$ . Y así $S$ es una unión de círculos y, por tanto, tiene un grupo de simetría incontable.
Tengo $\left |S\right|>1$ porque de lo contrario, tengo incontables simetrías. Y aquí es donde no sé qué hacer. Me gustaría decir que o bien los ejes se cruzan en un punto dado y entonces tengo un subconjunto denso de una circunferencia y por tanto una circunferencia, o bien no lo son y entonces puedo construir un conjunto no acotado pero no he conseguido transformar esta intuición en un argumento tipo prueba.
Así que pido tu ayuda para terminar esa prueba (o proporcionar otra prueba o un contraejemplo).
