Hallar la fórmula de la sucesión mediante funciones generatrices

Question

Tengo la siguiente secuencia dada:

$$\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^{2}$$

¿Cómo puedo hacerlo? La secuencia es la siguiente:

$$-1 + 4 - 9 + 16 - 25 + 36 - ...$$

Así que no tiene ninguna variable dentro. Parece una secuencia geométrica para mí, por lo que la fórmula simple conocido haría todo el asunto, pero en realidad dudo que sea tan simple.

Así que hay algunas funciones de generación que son bastante similares, como:

$$\sum (-1)^{n}x^{n} = x - x^{2} + x^{3} - x^{4} + ...$$

Pero, bueno... ¿qué sigue? La falta de la variable x me parece un poco extraña.

Answer 1

Obsérvese que la función generadora de la secuencia $(-1)^k$ es $\frac{1}{1+x}$ . Obsérvese también que si $(a_k)$ es cualquier secuencia con función generatriz $f$ entonces la función generadora de la secuencia $(ka_k)$ es $x\frac{d}{dx} f$ y la función generadora de la secuencia $\sum a_k$ es $\frac{f}{1-x}$ . Teniendo esto en cuenta, encontramos la función generadora de la secuencia $(-1)^k k$ ser $$x\frac{d}{dx}\frac{1}{1+x}=-\frac{x}{(1+x)^2}$$ por lo que la función generadora de $(-1)^k k^2$ es $$-x\frac{d}{dx}\frac{x}{(1+x)^2}=-\frac{(1-x)x}{(1+x)^3}$$

Así, su función generadora es $$-\frac{x}{(1+x)^3}$$

Si utilizamos fracciones parciales, podemos escribirlo como $$\frac{1}{(1+x)^3}-\frac{1}{(1+x)^2}$$ Si utilizamos la formla $$\frac1{(1+x)^k}=\sum_{n\ge 0}\binom{n+k-1}{k-1}(-x)^n$$ finalmente obtenemos que la suma es $$\sum_{k=1}^n(-1)^k k^2=(-1)^n\left(\binom{n+2}{2}-\binom{n+1}{1}\right)$$

Edita: \begin{align} \frac{f}{1-x}&=\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k=(1+x+...)\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k=\\ &=a_0+(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+...= \\ &=\sum_{k=0}^\infty \left( \sum_{n=0}^k a_n\right)x^k \end{align}

Answer 2

La función generadora es $$ \begin{align} \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n(-1)^kk^2x^n &=\sum_{k=0}^\infty\sum_{n=k}^\infty(-1)^kk^2x^n\\ &=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kk^2\frac{x^k}{1-x}\\ &=\frac1{1-x}\sum_{k=0}^\infty(-1)^kk^2x^k\tag{1} \end{align} $$ A partir de $\frac1{1+x}$ y tomando derivadas, obtenemos $$ \begin{align} \frac1{1+x}&=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^k\\ \frac1{(1+x)^2}&=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k(k+1)x^k\\ \frac2{(1+x)^3}&=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k(k+2)(k+1)x^k \end{align}\tag{2} $$ Desde $k^2=(k+2)(k+1)-3(k+1)+1$ tenemos $$ \begin{align} \sum_{k=0}^\infty(-1)^kk^2x^k &=\frac2{(1+x)^3}-\frac3{(1+x)^2}+\frac1{1+x}\\ &=\frac{(x-1)x}{(1+x)^3}\tag{3} \end{align} $$ Por lo tanto, la función generadora que queremos es $$ \begin{align} \frac1{1-x}\sum_{k=0}^\infty(-1)^kk^2x^k &=\frac1{1-x}\frac{(x-1)x}{(1+x)^3}\\ &=-\frac{x}{(1+x)^3}\\ &=-\sum_{n=0}^\infty\binom{-3}{n-1}x^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\binom{n+1}{n-1}x^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\binom{n+1}{2}x^n\tag{4} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \sum_{k=0}^n(-1)^kk^2=(-1)^n\binom{n+1}{2}\tag{5} $$

Answer 3

Empieza con: $$ \sum_{0 \le k \le n} (-1)^k z^k = \frac{1 - (-z)^{n + 1}}{1 - (-z)} $$ A continuación, tenga en cuenta que: $$ z \frac{d}{dz} \sum_{k} a_k z^k = \sum_k k a_k z^k $$ Esto implica diferenciar la suma anterior dos veces y evaluar en $z = 1$ : $$ z \frac{d}{dz} \left(z \frac{d}{dz} \frac{1 - (-z)^{n + 1}}{1 + z} \right) \big\lvert_{z = 1} = \frac{(-1)^n n (n + 1)}{2} $$

Máxima se agradece la ayuda prestada para arreglar el desaguisado.

Answer 4

La forma perezosa (es decir: profesional) de obtener el resultado consiste en generar los primeros términos de la suma alternada parcial, -1, 3, -6, 10, -15,.. y luego buscar los términos en la tabla http://oeis.org que conduce a http://oeis.org/A089594 y toma la f.g. de la sección de fórmulas.