$f$ es diferenciable en $(0,0).$

Question

Definición: Sea $V\subseteq{\mathbb{R}^{m}}$ un conjunto abierto, $a\in V$ y $f\colon V\to\mathbb{R}^{n}$ una función. Diremos que $f$ es diferenciable en $a,$ si existe una transformación lineal $f'(a)\colon\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}$ tal que $$\begin{equation} f(a+h)=f(a)+f'(a)(h)+r(h),\qquad\lim_{h\rightarrow 0}{\dfrac{r(h)}{\lVert h\rVert}}=0. \end{equation}$$

Sea $a \in \mathbb {R}$ ser. Definir la función $f \colon \mathbb {R}^ {2} \to \mathbb {R}$ dado por

\begin{equation} f(x,y)=\left\{ $$\begin{matrix} \dfrac{x\sin^{2}(x)+axy^{2}}{x^{2}+2y^{2}+3y^{4}} & (x,y)\neq(0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{matrix}$$ \De acuerdo. \Fin.

Hallar el valor de $a$ para que $f$ es diferenciable por $(0,0).$

Mi intento:

Observamos que

$$\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0=\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0). \end{equation}$$

Si $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\},$ entonces

$$\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{\sin^{2}(x)(2y^{2}+3y^{4}-x^{2})+x\sin(2x)(x^{2}+2y^{2}+3y^{4})+ay^{2}(2y^{2}+3y^{4}-x^{2})}{(x^{2}+2y^{2}+3y^{4})^{2}} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{2axy(x^{2}-3y^{4})-4xy\sin^{2}(x)(1+3y^{2})}{(x^{2}+2y^{2}+3y^{4})^{2}} \end{equation}$$

Si $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0,$ entonces

$$\begin{align} 2axy(x^{2}-3y^{4})-4xy\sin^{2}(x)(1+3y^{2})=0&\quad\Longleftrightarrow\quad a(x^{2}-3y^{4})=2\sin^{2}(x)(1+3y^{2})\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{2\sin^{2}(x)(1+3y^{2})}{x^{2}-3y^{4}} \end{align}$$

\begin{equation} f(x,y)=\left\{ $$\begin{matrix} x\sin^{2}(x) & (x,y)\neq(0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{matrix}$$ \De acuerdo. \Fin.

$$\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0=\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) \end{equation}$$

De ello se deduce que $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ y $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ son continuas por $(0,0)$ y $f$ es diferenciable por $(0,0).$

¿Son correctos mis argumentos? Cualquier sugerencia será bienvenida.

Answer 1

Tenemos que

$$\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{h\sin^{2}(h)}{h^{2}}}{h} =\lim_{h\to 0}\dfrac{h\sin^{2}(h)}{h^3}=1$$

$$\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{\dfrac{0}{2k^{2}+3k^4}}{k} =0$$

entonces por definición tenemos que comprobar que

$$\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}}{h^{2}+2k^{2}+3k^{4}}-h}{\sqrt{h^2+k^2}} =\lim_{(h,k)\to (0,0)} \dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=0$$

lo cual es cierto por $a=2$

$$\dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=\dfrac{h(h^2+O(h^4))+2hk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=$$

$$=\dfrac{-3hk^4+O(h^5)}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}$$

entonces utiliza coordenadas polares.

Answer 2

Un enfoque algo diferente:

Para ser diferenciable, una función debe ser continua y tener una derivada continua (o tener una derivada con una singularidad esencial). La continuidad exige que el límite al acercarse al punto sea el mismo, independientemente de la dirección de la aproximación.

Supongamos que nos acercamos a lo largo de la línea $x=y=\epsilon$ . Entonces tenemos (utilizando el hecho de que $\frac{d}{da}\sin^2(a)=\sin(2a)$ : $$g(\epsilon)=f(\epsilon,\epsilon) = \frac{\epsilon\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4} = \frac{\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2}{3\epsilon+3\epsilon^3}=\frac{1}{3}\frac{\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2}{\epsilon+\epsilon^3}$$ $$g'(\epsilon)=\frac{1}{3}\frac{(\epsilon+\epsilon^3)(\sin(2\epsilon)+2a\epsilon)-(\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2)(1+3\epsilon^2)}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6} = \frac{1}{3}\frac{\epsilon\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^2+\epsilon^3\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^4-\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^2-3\epsilon^2\sin^2(\epsilon)-3a\epsilon^5}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6}$$ $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}g'(\epsilon)=\frac{1}{3}\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{\epsilon\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^2+\epsilon^3\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^4-\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^2-3\epsilon^2\sin^2(\epsilon)-3a\epsilon^5}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{\sin(2\epsilon)+2\epsilon\cos(2\epsilon)+4a\epsilon+3\epsilon^2\sin(2\epsilon)+2\epsilon^3\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^3-\sin(2\epsilon)-2a\epsilon-6\epsilon\sin^2(\epsilon)-3\epsilon^2\sin(2\epsilon)-15a\epsilon^4}{2\epsilon+8\epsilon^3+6\epsilon^5} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{2\epsilon\cos(2\epsilon)+2a\epsilon+2\epsilon^3\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^3-6\epsilon\sin^2(\epsilon)-15a\epsilon^4}{2\epsilon+8\epsilon^3+6\epsilon^5} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{2\cos(2\epsilon)+2a+2\epsilon^2\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^2-6\sin^2(\epsilon)-15a\epsilon^3}{2+8\epsilon^2+6\epsilon^4} = \frac{1}{3} \frac{2+2a}{2} = \frac{1+a}{3}$$

Supongamos que nos acercamos a lo largo de la línea $-x=y=\epsilon$ . Entonces tenemos: $$h(\epsilon)=f(-\epsilon,\epsilon) = \frac{-\epsilon\sin^2(-\epsilon)-a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4} = \frac{-\epsilon\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4}= -g(\epsilon)$$ $$h'(\epsilon)=-g'(\epsilon)$$ $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}h'(\epsilon)=-\lim_{\epsilon\rightarrow0}g'(\epsilon)=-\frac{1+a}{3}$$

En ambas direcciones, el límite de la derivada existía y, por tanto, como la dirección de aproximación no importa, exigimos que los límites sean los mismos. $\frac{1+a}{3}=-\frac{1+a}{3}$ lo que significa que $a=-1$ .