Sea $*_2$ sea el terminal $2-$ categoría, $V$ sea una categoría monoidal con objeto unitario $I$ y $\mathbf BV$ sea su delooping, es decir, el $2-$ categoría con $ob(\mathbf BV) = \{*\}$ y $\text{Hom}_{\mathbf BV}(*,*) = V$ y composición dada por
$$\text{Hom}_{\mathbf BV}(*,*) \times \text{Hom}_{\mathbf BV}(*,*) \rightarrow \text{Hom}_{\mathbf BV}(*,*)$$
$$ = $$
$$\otimes:V \times V \rightarrow V$$
La unidad de esta composición viene dada por el objeto unidad en $V$ .
Me han dicho que un laxo $2-$ functor $F:*_2 \rightarrow \mathbf BV$ es igual que un monoide en $V$ . El problema es que no consigo que funcione sobre el papel.
Sea $F$ sea un functor laxo de este tipo, denote la identidad $1-$ morfismo en $*_2$ por $id_1$ y la identidad $2-$ morfismo por $id_2$ .
Ahora bien, un monoide en $V$ consiste en un objeto $M$ un morfismo $\mu: M \otimes M \rightarrow M$ y un morfismo $\iota:I \rightarrow M$
Entiendo que tenemos $M = Fid_1$ pero ¿cómo conseguimos $\mu$ ?
Lo único que se me ocurre es que tengamos un "asociador"
$$\mu: M = F(id_1) = F(id_1 \circ id_1) \rightarrow F(id_1) \circ F(id_1)= M \circ M = M \otimes M$$
$$\mu: M \rightarrow M \otimes M $$
¿pero va en la dirección equivocada?
El "unitor" $\iota : F(id_1) \rightarrow id_{F*}$
( $\{ * \} = ob(*_2)$ )
nos da un mapa $\iota: M \rightarrow I$
...¡que también va por mal camino!
Parece que los functores laxos $*_2 \rightarrow \mathbf B V$ son realmente equivalentes a $co$ monoides en $V$ ¡!
¿Qué está pasando aquí?
Fuente de definiciones, etc: https://ncatlab.org/nlab/show/2-functor
