¿Cuáles son algunos ejemplos de monoides no conmutativos que son a la vez idempotentes y autodistributivos (en ambos lados)?

Question

En presencia de los axiomas para un monoide conmutativo, la idempotencia es equivalente a la autodistributividad.

Prueba. Supongamos que un monoide conmutativo es idempotente. Entonces: $$x(yz) = xxyz = (xy)(xz)$$

Por otro lado, supongamos que un monoide es autodistributivo por la izquierda. Entonces

$$x = x(11) = (x1)(x1) = xx$$

Pregunta. ¿Cuáles son algunos ejemplos de monoides no conmutativos que son a la vez idempotentes y autodistributivos (en ambos lados)?

Answer 1

(Parece que estamos de acuerdo en que un monoide es asociativo y tiene un elemento unidad.) La autodistributividad a la izquierda implica que para todo $x$ y $y$ tenemos $xy = (xy)1 = x(y1) = (xy)(x1) = (xy)x = xyx$ . Pero la autodistributividad correcta implica simétricamente $yx = xyx$ . Así que $xy = yx$ para cualquier $x$ y $y$ y el monoide es conmutativo.

Espero no estar afirmando lo obvio, pero en general, para pensar en tales cuestiones, el mejor método parece ser empezar con el monoide libre sobre algún alfabeto e imponer las propiedades deseadas mediante el cociente por las relaciones de palabras apropiadas: por ejemplo, idempotencia significa que identificamos $uxv$ con $uxxv$ para cualquier palabra $u,x,v$ la distributividad a la izquierda significa que identificamos $uxyzv$ con $uxyxzv$ para cualquier $u,x,y,z,v$ etc. Se trata entonces de encontrar palabras que no puede estar relacionados (aquí $xy$ y $yx$ ) mediante estas reglas de reescritura. Por supuesto, hay que recordar la palabra vacía, pero pensar en términos de palabras facilita mucho el problema.