Mostrar $\phi_j(x)=\frac{\phi_{j-1}(x)-\phi_{j-1}(0)}{x}$ para $\phi_j(x):=\frac{1}{(j-1)!}\int_{0}^{1}e^{(1-\theta)x}\theta^{j-1}d\theta$

Question

Considere

$$\phi_j(x):=\frac{1}{(j-1)!}\int_{0}^{1}e^{(1-\theta)x}\theta^{j-1}d\theta, \ \ \ \ \ j \ge 1, \ x \in \mathbb R \tag 1$$

$$\phi_0(x):=e^x$$

(que se utiliza en procedimientos numéricos que implican ecuaciones diferenciales)

Mostrar la fórmula de recursión

$$\phi_j(x)=\frac{\phi_{j-1}(x)-\phi_{j-1}(0)}{x}, \ \ \ \ \ j \ge 1, \ \ x \neq 0$$

¿Cuáles son los valores de $\phi_{j-1}(0)$

Intenté demostrarlo por inducción.

$j=1$ :

$\phi_1(x)=\frac{\phi_0(x)-\phi_0(0)}{x}=\frac{e^x-1}{x}$

Y $\int_{0}^{1}e^{(1-\theta)x}d\theta=\frac{e^x-1}{x}$

Pero en el paso de inducción $j \to j+1$ Me encuentro con problemas

$\phi_{j+1}(x)=\frac{\phi_{j}(x)-\phi_{j}(0)}{x}$ . Entonces, por hipótesis de inducción he enchufado $(1)$ para $\phi_j(x)$ y $\phi_j(0)$ pero esto sólo terminó en una complicada integral que mi CAS no pudo resolver.

Si hay otra forma que no sea la inducción, también está bien.

Answer 1

Sea $j \geq 1$ entonces, integrando por partes (el término del paréntesis es cero en $0$ debido a $t^j$ en $1$ debido a la $e^{(1-t)x}-1$ término), $\frac{(j-1)!}{x}(\phi_j(x)-\phi_j(0))=\int_0^1{t^{j-1}\frac{(e^{(1-t)x}-1}{x}\,dt}=-\frac{1}{j}\int_0^1{t^j(-xe^{(1-t)x}\,dt}=(j-1)!\phi_{j+1}(x)$ .