¿Motivación de la definición de forma bilineal en la representación lineal de grupos Coxeter?

Question

En unas notas sobre grupos de Coxeter que estoy leyendo se hacen las siguientes definiciones:

1. Sea $M = (m_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$ sea una simétrica $n \times n$ con entradas de $\mathbb{N} \cup \{ \infty \}$ tal que $m_{ii} = 1$ para todos $1 \leq i \leq n$ y $m_{ij} > 1$ siempre que $i \neq j.$ El grupo Coxeter de tipo $M$ es el grupo $$W (M) = \langle \{s_1, \dots, s_n \} \mid \{s_is_j)^{m_{ij}} = 1 \mid 1\leq i , j \leq n, m_{ij} < \infty \} \rangle.$$

2. Sea $V$ sea un espacio vectorial real con base $(e_i)_{i \in [n]}.$ Denote por $B_M$ la forma bilineal simétrica en $V$ determinado por $$B(e_i, e_j) = -2\cos (\pi/m_{ij})$$ para $i,j \in [n]$ y tal que $B(e_i, e_j) = -2$ si $m_{ij} = \infty$ .

3. Definir las transformaciones lineales $\rho_i (i \in [n]) $ por $\rho_i (x) = x - B(x, e_i)e_i \quad (x \in V)$

La representación lineal del grupo Coxeter de tipo $M$ viene dada entonces por el homomorfismo $w \to \rho_w.$ Ahora tengo dos preguntas:

1. ¿Por qué elegir esta forma bilineal?

2. Si $V = \mathbb{R}^n$ ¿es esta noción de reflexión coherente con las reflexiones que se forman fijando un hiperplano bajo el producto interior habitual?

Answer 1

La forma bilineal se elige así para cumplir la restricción $(\rho_i\rho_j)^{m_{ij}}=1$ . Por ejemplo, con $$ M=\left(\begin{array}{cc}1&3\\3&1\end{array}\right) $$ obtenemos que $-2\cos(\pi/3)=-1$ y, por lo tanto $$ \rho_1:\begin{cases}e_1\mapsto-e_1\\e_2\mapsto e_1+e_2\end{cases} $$ $$ \rho_2:\begin{cases}e_1\mapsto e_1+e_2\\e_2\mapsto -e_2\end{cases} $$ cuando $$ \rho_1\rho_2:\begin{cases}e_1\mapsto e_2\\e_2\mapsto -e_1-e_2\end{cases} $$ y podemos comprobar fácilmente que $(\rho_1\rho_2)^3$ es la transformación de identidad.

En general, las transformaciones $\rho_i$ no siempre son reflexiones respecto a un hiperplano de $\Bbb{R}^n$ . Consideremos el caso $$ M=\left(\begin{array}{cc}1&\infty\\\infty&1\end{array}\right). $$ En este caso, la matriz $B(e_i,e_j)$ es $\pmatrix{2&-2\cr-2&2\cr}$ singular, y vemos fácilmente que $e_1+e_2$ se fija tanto por $\rho_1$ y $\rho_2$ . Por lo tanto, si ambos $\rho_1$ y $\rho_2$ donde las reflexiones ordinarias, serían transformaciones iguales del plano. Pero claramente $\rho_1\neq\rho_2$ por lo que no es el caso.

Si $W(M)$ es finito y $B$ es definida positiva (en particular no degenerada), entonces podemos convertir $B$ en un producto interno invariante mediante el argumento de promediación habitual. La relación $\rho_i(e_i)=-e_i$ entonces fuerza $\rho_i$ s a ser reflexiones. Desconozco los demás casos (es decir, si esta condición suficiente es necesaria). IIRC si $W(M)$ es un grupo finito, entonces $B$ es automáticamente positiva definida.