¿Cuál es la inversa de $I+A$ dado que $A^2=2\mathbb{I}$ ?

Question

Tengo el siguiente problema:

Sea $A$ sea una matriz real cuadrada tal que $A ^ 2 = 2\mathbb{I}$ . Demostrar que $A +\mathbb{I}$ es una matriz invertible y hallar su inversa.

Lo he intentado con las respuestas dadas aquí: ¿Cuál es la inversa de $I+A$ ?

¿Alguna pista?

Answer 1

SUGERENCIA: ¿Qué es $(A+\Bbb I)(A-\Bbb I)$ ?

Answer 2

Necesitamos encontrar X donde $$(A+I)X = I$$

$$AX + X = I$$ Multiplicando a ambos lados por $A$ $$A^2 X + AX = 2IX + AX = A$$ $$IX + (A+I)X = X + I = A $$

Por lo tanto $$X = A-I$$

Esta es la solución de fuerza bruta.

Answer 3

Tenga en cuenta que

$(\Bbb I + A)(\Bbb I - A) = \Bbb I - A^2 = \Bbb I - 2 \Bbb I = -\Bbb I, \tag{1}$

o

$(\Bbb I + A)(A - \Bbb I) = \Bbb I. \tag{2}$

(2) muestra que $(\Bbb I + A)^{-1}$ existe y que viene dada por

$(\Bbb I + A)^{-1} = A - \Bbb I; \tag{3}$

sin más conocimiento de $A$ no se puede decir mucho más. Por supuesto, se puede encontrar $B$ tal que $B^2 = \Bbb I$ y luego tomar $A - \Bbb I = \sqrt 2 B- \Bbb I $ para cualquier $B$ de las cuales hay muchas, pero como no podemos especificar más $A$ o $B$ En base a lo que se da aquí, este parece un buen lugar para dejarlo.

Espero que esto ayude. Salud,

y como siempre,

¡¡¡Fiat Lux!!!