Por favor, ayúdenme a entender cómo $\overline{\bigcup A_\alpha}\subset \bigcup \overline{A_\alpha}$ no se cumple en general.

Question

De la sección Topología de Munkres $17$ sobre Conjuntos Cerrados y Puntos Límite.

He visto respuestas que dicen que si elegimos algún barrio de $x$ puede intersectar algunos $A_\alpha$ pero otro barrio de $x$ no puede intersecar este mismo $A_\alpha$ .

Sin embargo, ¿por qué nos importa que dos barrios diferentes no se crucen con el mismo $A_\alpha$ siempre que se cruce con algún $A_\alpha$ ? Después de todo, estamos tratando de demostrar que $x$ está en la unión de los cierres.

Answer 1

Cada barrio abierto de $x$ interseca la unión; por lo tanto interseca algún $A_\alpha$ . Pero un barrio abierto más pequeño puede intersectar $A_\beta$ y una más pequeña que esa puede intersectar $A_\gamma$ etc. y $\alpha,\beta,\gamma,\ldots$ pueden ser distintos. Por lo tanto, usted no ha demostrado que sólo hay un $A_\alpha$ que seguirá siendo intersecada por cada vecindad abierta de $x$ por pequeño que sea el barrio. En otras palabras, usted no ha demostrado que hay alguna $\alpha$ para lo cual $x$ está en el cierre de $A_\alpha$ .

Identificar este fallo en la prueba no significa que la proposición sea falsa; sólo significa que no has demostrado que sea cierta. Para demostrar que es falsa usarías un contraejemplo. Aquí tienes un contraejemplo: $$ A_n = \left( \frac 1 n, \frac 1 n + \frac 1 {n^2} \right). $$ Entonces $\displaystyle 0 \in \overline{\bigcup_{n=1}^\infty A_n}$ pero $\displaystyle 0 \notin \bigcup_{n=1}^\infty \overline{A_n}.$

El contraejemplo puede arrojar algo de luz sobre la falacia del argumento. Para cada $\varepsilon>0$ tienes algunos $n$ tan grande que el vecindario $(-\varepsilon,+\varepsilon)$ de $0$ interseca la unión. Pero no hay $A_n$ que interseca la vecindad $(-\varepsilon,\varepsilon) = \left( -\frac 1{2n}, +\frac 1 {2n} \right).$ Ese barrio separa $0$ de $A_n$ de modo que $0$ no está en el cierre de $A_n$ .

Answer 2

Como ser $x$ un punto límite de $\bigcup A_a$ con $x$ no necesariamente en $A_a$ . El barrio $U$ de $x$ contiene un punto $y \ne x$ en $\bigcup A_a$ . Pero eso es sólo un barrio de los vecinos. Para ser un punto límite para ese $A_a$ cada barrio de $x$ debe intersecarse que $A_a$ . Pero sólo sabes que cada barrio se cruza algunos quizás diferente $A_a$ . Si cada barrio interseca diferente $A_a$ entonces $x$ no es necesariamente un punto límite para ninguno.

Por ejemplo $A_i = \{i/z\mid z \in \mathbb Z-\setminus\{0\}\}$ . Entonces $\overline{A_i} = A_i$ . Y $\bigcup A_i = \mathbb Q$ y $\overline {\bigcup A_i} = \mathbb R \not \subset \bigcup {\overline A_i} = \mathbb Q$ .

Considere la "prueba" de $x$ , $x$ irracional, entonces cada vecindario $U$ se cruza con $A_i$ . Diga $x = \pi$ y $3.2 \in N(1/10,\pi)=U$ . Así que $U$ se cruza con $A_{32}$ como $3.2 = 32/10$ (y $|\pi - 3.2| < 1/10$ ). Pero $N(1/20,\pi)$ no tienen por qué intersecarse $A_{32}$ . De hecho $32/10 - \pi= 3.2 - \pi > .05$ y $\pi - 32/9 = \pi = 2.909090\ldots > .05$ . Así que $\pi \not \in \overline {A_{32}}$ . (Pero $N(1/20,\pi)$ se cruza con $A_{31}$ ... pero $N(1/100, \pi)$ no... y así sucesivamente...)

De hecho, cada barrio hace intersect un $A_i$ pero hay no $A_i$ que es intersecado por todos barrios y $\pi$ no está en cualquier $\overline{A_i}$ .