Mostrando homomorfismo para $\theta: GL_2 (\Bbb Q) \rightarrow \Bbb Q\setminus \{0\}$ dada por $\theta(A) = \det A$ .

Question

Demuestre que este mapa es un homomorfismo de grupo y encuentre su núcleo:

$$\theta: GL_2 (\Bbb Q) \rightarrow \Bbb Q\setminus \{0\}$$ dado por $\theta(A) = \det A.$

Mi intento:

Sea $A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{pmatrix}$ entonces $$ \theta (A) =\det A = a_1a_4 - a_2a_3$$ Y que $B \in GL_2 (\Bbb Q)$ tal que B = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \\ \end{pmatrix} y $$\theta(B) = \det B = b_1b_4 - b_2b_3$$

Entonces comprobando el homomorfismo...

$$ \begin{align} \theta(A)\theta(B)= \det A \det B & = \ (a_1a_2-a_3a_4)(b_1b_4 - b_2b_3) \\ & = a_1a_2b_1b_2 - a_3a_4b_1b_4 - a_1a_2b_2b_3 + a_3a_4b_3b_4\\ & = \det(AB) = \theta(AB) \end{align}$$

(para ser honesto, en realidad no podía averiguar cómo $\det A\det B$ se convirtió en $\det AB$ con el método que utilicé. Es decir, las expansiones no funcionaban. ¿Hay alguna forma mejor de hacerlo? ¿Estoy muy equivocado?)

$\ker \theta = A: \det A =1$

Answer 1

Empieza a trabajar desde el otro extremo. Suele ser mejor trabajar desde el extremo más complicado o trabajar simultáneamente en los dos extremos del cálculo.

Sabes que $$AB=\pmatrix{a_1&a_2\\a_3&a_4}\pmatrix{b_1&b_2\\b_3&b_4}=\pmatrix{a_1b_1+a_2b_3&a_1b_2+a_2b_4\\a_3b_1+a_4b_3&a_3b_2+a_4b_4}\;,$$

así que

$$\begin{align*} \det AB&=(a_1b_1+a_2b_3)(a_3b_2+a_4b_4)-(a_1b_2+a_2b_4)(a_3b_1+a_4b_3)\\ &=\color{red}{a_1b_1a_3b_2}+a_1b_1a_4b_4+a_2b_3a_3b_2+\color{blue}{a_2b_3a_4b_4}\\ &\qquad-\color{red}{a_1b_2a_3b_1}-a_1b_2a_4b_3-a_2b_4a_3b_1-\color{blue}{a_2b_4a_4b_3}\\ &=a_1b_1a_4b_4+a_2b_3a_3b_2-a_1b_2a_4b_3-a_2b_4a_3b_1\\ &=a_1a_4b_1b_4-a_1a_4b_2b_3+a_2a_3b_2b_3-a_2a_3b_1b_4\\ &=a_1a_4(b_1b_4-b_2b_3)-a_2a_3(b_1b_4-b_2b_3)\\ &=(a_1a_4-a_2a_3)(b_1b_4-b_2b_3)\\ &=\det A\det B\;. \end{align*}$$

Answer 2

No has multiplicado $AB$ ---- tienes que hacer eso, entonces puedes calcular $\det(AB)$ y ver si es igual a $\det A\det B$ .

Answer 3

$$AB = \begin{pmatrix} a_1b_1+a_2b_3 & a_1b_2+a_2b_4 \\ a_3b_1+a_4b_3 & a_3b_2+a_4b_4 \\ \end{pmatrix}$$

Así que $$\det AB = (a_1b_1+a_2b_3)(a_3b_2+a_4b_4) - (a_1b_2 + a_2b_4)(a_3b_1+a_4b_3)$$

$$= (a_1a_3b_1b_2 + a_1a_4b_1b_4 + a_2a_3b_2b_3 + a_2a_4b_3b_4) - (a_1a_3b_1b_2+a_1a_4b_2b_3+ a_2a_3b_1b_4+ a_2a_4b_3b_4)$$

$$= a_1a_4b_1b_4+a_2a_3b_2b_3-a_1a_4b_2b_3-a_2a_3b_1b_4 $$

$$= a_1a_4(b_1b_4-b_2b_3) -a_2a_3(b_1b_4-b_2b_3) $$ $$= (a_1a_4-a_2a_3)(b_1b_4-b_2b_3) $$

$$= \det A \det B.$$