desigualdad elemental.

Question

Demuéstralo: $$ \Big|\int_1^\sqrt{3} \! \frac{\sin(x)}{e^x(x^2 +1)} \, \mathrm{d} x \Big| \leq \frac{\pi}{12e}$$

Enfoque: lo sabemos:

$$ \Big|\int_1^\sqrt{3} \! \frac{\sin(x)}{e^x(x^2 +1)} \, \mathrm{d} x \Big| \leq \int_1^\sqrt{3} \! \frac{|\sin(x)|}{e^x(x^2 +1)} \, \mathrm{d} x \leq \int_1^\sqrt{3} \! \frac{1}{e^x(x^2 +1)} \, \mathrm{d} x$$ Desde $|\sin(x)|$ está limitado por 1 para cada $x$ . ¿Podemos seguir estimando esta integral, o simplemente debemos resolver la última integral?

Gracias.

Answer 1

Utilizar el hecho $ 1<x<\sqrt{3} \implies e<e^x<e^{\sqrt{3}}$ y $|sin(x)|\leq 1$

$$\Big|\int_1^\sqrt{3} \! \frac{\sin(x)}{e^x(x^2 +1)} \, \mathrm{d} x \Big|\leq \int_1^\sqrt{3} \! \frac{1}{e(x^2 +1)} \, \mathrm{d} x \leq \frac{\pi}{12e}$$