He encontrado este problema en mi libro de álgebra y todavía no consigo encontrar la manera correcta de resolverlo.
El problema es el siguiente:
Encuentre $\log_{p^5}\left(3^5\times 5^3\right)$ de:
$$\frac{3+\log_{p}3}{5^2}=\frac{-5+\log_{p}5}{3^2}=\frac{10}{3^3+5^3}$$
Las alternativas dadas son:
$\begin{array}{ll} 1.& 2\\ 2.& 1\\ 3.& \frac{1}{2}\\ 4.& 3\\ 5.& \frac{1}{3}\\ \end{array}$
Hasta ahora lo que he intentado es lo siguiente, pero debo decir que este proceso fue tediosamente lento y al final no pude obtener el valor de $p$ .
Lo que empecé fue a obtener una relación entre las funciones:
$\log_{p}3=\frac{5^2\left(10\right)}{3^3+5^3}-3$
$\log_{p}5=\frac{3^2\left(10\right)}{3^3+5^3}+5$
Entonces fui a la pregunta por lo que se está pidiendo es:
$\log_{p^5}\left(3^5\times 5^3\right)$
Esto se reduce a:
$\log_{p^5}\left(3^5\times 5^3\right)=\frac{5}{5}\log_{p}3+\frac{3}{5}\log_{p}5$
Así que lo único que quedaba era sustituir las dos primeras expresiones por las posteriores:
$\left(\frac{1}{5}\right)\left(\left[5\right]\left(\frac{5^2\left(10\right)}{3^3+5^3}-3\right)+\left[3\right]\left(\frac{3^2\left(10\right)}{3^3+5^3}+5\right)\right)$
$\frac{5}{5}\log_{p}3+\frac{3}{5}\log_{p}5= \frac{1}{5}\left(\frac{5^3\left(10\right)-15\left(3^3+5^3\right)+3^3\left(10\right)+15\left(3^3+5^3\right)}{3^3+5^3}\right)$
$\frac{5}{5}\log_{p}3+\frac{3}{5}\log_{p}5=\frac{1}{5}\left(\frac{10\left(3^3+5^3\right)-15\left(3^3+5^3\right)+15\left(3^3+5^3\right)}{3^3+5^3}\right)$
$\frac{5}{5}\log_{p}3+\frac{3}{5}\log_{p}5=\frac{1}{5}\left(\frac{10\left(3^3+5^3\right)}{3^3+5^3}\right)$
$\frac{5}{5}\log_{p}3+\frac{3}{5}\log_{p}5=\frac{1}{5}\left(10\right)$
$\frac{5}{5}\log_{p}3+\frac{3}{5}\log_{p}5=2$
Por lo tanto, la respuesta sería $2$ . Sin embargo, como ya se ha mencionado, no fue necesario utilizar este procedimiento para encontrar $p$ sin embargo me pregunto si intentar encontrar $p$ ¿daría un entero o sería una forma correcta de hacerlo?. El método que he utilizado consume mucho tiempo. ¿Existe alguna solución más fácil o rápida? Agradecería que alguien me ayudara con esto.
