Me pregunto si existe algún límite superior no asintótico para la siguiente función Gamma: $$f_a(x)=\int_{x}^{\infty}t^a\exp(-t)dt$$ para $x>0,a>0$ ? Algo como $x^a\exp(-x)$ ?
Respuestas
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En la tesis de Gabcke, que puede descargar en http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0022-6013-8 página 84 puede encontrar
Teorema: La función gamma incompleta $$\Gamma(a,x)=\int_x^\infty e^{-v}v^{a-1}\,dv,\qquad \text{$ x>0 $ and $ a $ real numbers}$$ satisface para $a\ge 1$ y $x>a$
$$\Gamma(a,x)\le a e^{-x} x^{a-1}.$$
Iosif Pinelis
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En cuanto al PO, el resultado de Gabcke citado en la respuesta del usuario juan es el siguiente: \begin{equation*} f_a(x)=\int_{x}^{\infty}t^a e^{-t}\,dt=\Gamma(a+1,x)\le(a+1) x^a e^{-x}=:B_1(a,x) \end{equation*} \begin{equation*} \text{for $a>0$ and $x\ge a+1$.} \end{equation*}
Se puede obtener la siguiente mejora de este resultado: \begin{equation*} f_a(x)=\Gamma(a+1,x)\le x^a e^{-x}\,\frac1{1-a/x}=:B_2(a,x) \tag{1} \end{equation*} \begin{equation*} \text{for $a>0$ and $x>a$. } \tag{2} \end{equation*} De hecho, para $a>0$ y $x>a+1$ tenemos $B_2(a,x)<B_1(a,x)$ .
Además, por la regla de l'Hospital, para cada real $a>0$ \begin{equation*} B_2(a,x)\sim f_a(x), \quad B_1(a,x)\sim (a+1)f_a(x) \end{equation*} como $x\to\infty$ . Por lo tanto, el límite $B_2(a,x)$ es asintóticamente óptimo cuando $x\to\infty$ mientras que el límite $B_2(a,x)$ no lo es.
Demostremos ahora la afirmación (1) bajo la condición (2). Para $t>x[>a>0]$ , dejemos que $g(t):=a\ln t-t$ . Dado que la función $g$ es cóncava, tenemos \begin{equation*} g(t)\le g_x(t):=g(x)+g'(x)(t-x)=a\ln x-x+(a/x-1)(t-x). \end{equation*} Así que.., \begin{equation*} f_a(x)=\int_{x}^{\infty}e^{g(t)}\,dt \le \int_{x}^{\infty}e^{g_x(t)}\,dt =B_1(a,x), \end{equation*} como se afirma.
