Prueba $\sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} < e^x, \forall x > 0$ .

Question

Reclamación: $$\sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} < e^x, \qquad \forall x > 0$$

Prueba:

Sea $f(x)=e^x$ . Entonces la serie de Taylor da

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$$

$$= \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} + \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$$

Ahora, porque $x>0$ , $$\sum_{n+1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} > 0$$

$$\implies f(x) > f(x) - \sum_{n+1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$$

$$\implies \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} = f(x) - \sum_{n+1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} < f(x)$$

QED.

Agradecería una crítica constructiva sobre esta prueba.

Answer 1

Estás asumiendo $e^x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$ . En este caso se puede observar que la secuencia $$f_n(x) := \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}, \quad x > 0$$ es estrictamente creciente, ya que $f_{n+1}(x)$ es $f_n(x)$ más un número positivo (como $x$ es positivo). Esto implica que $(f_n(x))_{n=0}^{\infty}$ admite un límite, que es $e^x$ . Utilizando la definición de límite y que $(f_n(x))_{n=0}^{\infty}$ es una secuencia creciente, si se fija $\varepsilon > 0$ entonces puede encontrar $N \in \mathbb{N}$ tal que $$0 < e^x-f_n(x) < \varepsilon \text{ if } n>N$$ y esto implica en particular que $$f_n(x) < e^x.$$

Suponga que no sabe $e^x = \sum_k \frac{x^k}{k!}.$ Considere $$g_n(x):=e^x - \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}, \quad x \geq 0.$$ Observe que $g_n(0) = 0$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$ . Supongamos por contradicción que existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que $$e^x \leq \sum_{k=0}^N \frac{x^k}{k!}$$ y además, que éste es el menor número natural para el que esto ocurre, es decir $$e^x > \sum_{k=0}^{N-1} \frac{x^k}{k!}.$$ Esto equivale a decir que \begin{equation} g_N(x) \leq 0 \end{equation} et $$g_{N-1}(x) > 0.$$ Pero se puede calcular directamente $$g_N'(x) = g_{N-1}(x) > 0.$$ Este hecho y $g_n(0) = 0$ para cada $n \in \mathbb{N}$ rendimiento $g_N(x) > 0$ si $x > 0$ contradicción con $g_N(x) \leq 0$ .

Answer 2

Tu argumento está bien, pero también hay un atajo. Aprovechando Teorema de Taylor con resto integral que tenemos:

$$ e^x = \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+\frac{1}{n!}\int_{0}^{x} e^t (x-t)^n\,dt\tag{A} $$ y es bastante obvio que la última integral es positiva si $x> 0$ ya que es la integral de una función continua y positiva.