La motivación detrás de Dedekind de la corte

Question

Quiero saber la motivación detrás de Dedekind del número real de construcción. La motivación de tales propiedades de la corte establece que no está claro para mí. Por CIERTO, soy nuevo en análisis real y sólo han empezado a leer el primer capítulo de Rudin.

lo que hizo Dedekind para el pensamiento de los conjuntos con algunas buenas propiedades (¿cuáles son las motivaciones detrás de estas propiedades ? Por ejemplo, por qué la corte no debería tener mayor elemento ?). Leí en alguna parte que inicialmente Dedekind pensamiento de que cualquier número real puede ser identificada mediante números racionales menos que eso. Así, este fue su punto de partida. Desde que la primera y la segunda propiedad de corte es comprensible, pero la tercera propiedad (no mayor elemento) no está claro para mí.

Answer 1

Aquí está mi mejor conjetura. Dedekind:

Hmmmmmm.

El número racional línea está llena de agujeros. En $\sqrt{2}$, no debería ser un número, pero no la hay.

¿Y eso qué significa?

Hm.

Bueno, no hay ningún agujero en $2$. Podemos hacer este preciso observar que $(2-\epsilon,2)_\mathbb{Q}$ es distinta de la $(2-\epsilon,2]_\mathbb{Q},$ para todos los estrictamente positivo $\epsilon$.

Pero no es un agujero en $\sqrt{2}.$ podemos hacer que esto sea más precisa mediante la observación de que $(\sqrt{2}-\epsilon,\sqrt{2})_\mathbb{Q}$ tiene exactamente los mismos elementos como $(\sqrt{2}-\epsilon,\sqrt{2}]_\mathbb{Q}$ para todos los estrictamente positivo $\epsilon$.

Pero hay que esperar. Si estamos tratando de construir los números reales, entonces la notación $\sqrt{2}$ no 'permitido'. Bueno, por lo que permite precisar como este.

No es un agujero en$\sqrt{2},$, lo que significa que $\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}$ tiene exactamente los mismos elementos como $\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 \leq 2\}.$

Pero no, esto es demasiado simétrica; la instrucción anterior puede también ser visto como la afirmación de que hay un agujero en $-\sqrt{2}$. Bueno, vamos a ir por delante y destruir la simetría.

No es un agujero en$\sqrt{2},$, lo que significa que la tendencia a la baja al cierre de $\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}$ tiene exactamente los mismos elementos que en el descendente cierre de $\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 \leq 2\}.$

Aha! Así que tal vez deberíamos definir que $\sqrt{2}$ es la tendencia a la baja al cierre de $\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}.$ Pero espera, ¿por qué no a la baja el cierre de la no-versión estricta? Bien, le acaba de ignorar esa posibilidad por el momento.

Así, un número real es a la baja el cierre de un conjunto de números racionales que está delimitado por encima, pero no tiene mayor elemento.

Esperar. ¿(¡Eureka!):

Un número real es un descenso, conjunto cerrado de números racionales que está delimitado por encima, pero no tiene mayor elemento.

Answer 2

Espero que esta ayuda:

Para entender por qué los recortes no tuvo mayor elemento que necesita para entender por qué tenemos los números reales en el primer lugar.

Si se considera el problema de encontrar $\sqrt{2}$, usted encontrará que es posible encontrar un conjunto de los números racionales que son todo menos de la $\sqrt{2}$.

Fácilmente podemos definir como un conjunto.

$S = \lbrace q \mid q^2 \lt 2 \text{ or } q \lt 0, q \in \mathbb{Q} \rbrace$

El conjunto $S$ es un corte de los números racionales que podemos identificar con $\sqrt{2}$. En Dedikends la construcción de este conjunto es en realidad $\sqrt{2}$.

La idea es que hay diferencias en los números racionales, donde esperamos que haya un valor. La forma más fácil de identificar estas carencias es describiéndolas con algo así como un corte.

A continuación, definimos la colección de recortes a ser nuestro nuevo sistema de número. La razón de esto es que cada racional tiene un único corte y cada espacio tiene un único corte. Por lo tanto, no se pierde racionales al trabajar en este nuevo sistema, pero se las arreglan para rellenar los huecos.

Puede ser útil si usted estudia la construcción de los reales utilizando un Cauchy finalización. Yo pienso que ese es un poco más intuitivo.

Answer 3

Una manera de acercarse a las matemáticas es ver como la construcción de más y más complejo de estructuras en la parte superior de simple fundaciones. Un método comúnmente utilizado de la fundación (pero no el único) es la teoría de conjuntos de uno u otro tipo. Una vez establecida la teoría, usted puede construir sobre ella para formar los números naturales, los enteros, entonces los números racionales, y, a continuación, los reales. Dedekind cortes son una de las maneras más simples para la construcción de reales.

Añadido después de la pregunta de edición:

Es importante que cada número real ser representado por exactamente un Dedekind corte. Sin el "no hay mayor elemento de bits", cada número racional puede ser representada por dos cortes diferentes.